Karekök, Küpkök ve N'inci Kök Hesaplama (Karmaşık Köklerle)

Hesaplamaya Girin

Kök tipi Karekök (sqrt) Küpkök (3. kök) N'inci kök (n. kök)

n (tam sayı)

x değişkeni

Kökler Real roots only Complex roots

Gösterim Rectangular (Cartesian) Polar

Anlamlı basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formül

Show calculation steps (1)

1. The n complex roots

   

   For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

Sonuç

x'in temel kökü

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = 1,4142135624

#	Kök
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
Kök sayısı	2
Ortak büyüklük r	1,4142135624

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, herhangi bir reel x sayısının karekökünü, küpkökünü ya da genel n'inci kökünü hesaplar. İster yalnızca reel değerli kökü (yani alışıldık cevabı), ister n adet karmaşık kökün tamamını isteyebilirsiniz. Her sonucu \(a + b\cdot i\) biçiminde dikdörtgen koordinatlarda ya da \(r \angle \theta\) şeklinde kutupsal biçimde görüntüleyebilirsiniz. Tamamen matematiksel bir araçtır ve her yerde aynı şekilde çalışır — hiçbir ülke, para birimi veya ölçü birimi varsayımı içermez.

Nasıl kullanılır?

Önce kök tipini seçin. n = 2 derecesi için "Karekök", n = 3 için "Küpkök" ya da kendi pozitif tam sayınızı girmek için "N'inci kök" seçeneğini kullanın. Ardından kök içindeki sayıyı (x) girin. Yalnızca reel kökleri mi yoksa tüm karmaşık kökleri mi istediğinizi belirleyin, dikdörtgen veya kutupsal gösterimi seçin ve kaç anlamlı basamak görmek istediğinizi ayarlayın. Basamak sayısı yalnızca görünümle ilgilidir; arka plandaki hesaplamalar standart çift duyarlıklı (double) aritmetik kullanır.

Formülün açıklaması

x sayısını kutupsal biçimde \(\rho\cdot e^{i\varphi}\) olarak yazalım; burada \(\rho = |x|\) olup, x negatif değilse \(\varphi = 0\), x negatifse \(\varphi = \pi\) olur. Her n'inci kökün büyüklüğü aynıdır: $$r = \rho^{1/n}$$ Birbirinden farklı n kök, \(2\pi/n\) açısıyla eşit aralıklarla dizilir: $$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ burada \(k = 0,1,\ldots,n-1\). Bir kök, ancak sanal kısmı sıfır olduğunda reeldir.

n karmaşık kök, \(|x|^{1/n}\) yarıçaplı bir çember üzerinde eşit aralıklarla dizilir.

Çözümlü örnek

x = −8 sayısının küpkökünü, dikdörtgen biçimde karmaşık köklerle alalım. Burada \(\rho = 8\), \(\varphi = \pi\) olduğundan \(r = 8^{1/3} = 2\)'dir. Üç kök şunlardır: \(1 + 1.7320508\cdot i\) (k=0, açı 60°), \(-2\) (k=1, açı 180° — yani reel küpkök) ve \(1 - 1.7320508\cdot i\) (k=2, açı 300°). Yalnızca reel modda tek cevap \(-2\) olur.

Kutupsal form (r, θ), dikdörtgensel form a + bi ile ilişkilidir.

Sıkça sorulan sorular

Pozitif bir sayının neden iki karekökü vardır? Çift n değerlerinde pozitif bir kök içeren sayının hem pozitif hem de negatif bir reel kökü bulunur. Örneğin 2'nin karekökleri \(+1.41421356\) ve \(-1.41421356\)'dır.

Negatif bir sayının karekökü neden reel değildir? n çift ve x negatif olduğunda köklerin hiçbiri reel eksen üzerine düşmez; bu yüzden yalnızca reel modda "reel kök yok" sonucu döner, karmaşık modda ise yine n kökün tamamı verilir.

Negatif x her zaman reel bir küpkök verir mi? Evet — n tek olduğunda tam olarak bir reel kök vardır ve bu kök \(-|x|^{1/n}\) değerine eşittir.