Máy tính căn bậc hai, căn bậc ba và căn bậc n (có nghiệm phức)

Nhập phép tính

Loại căn Căn bậc hai (sqrt) Căn bậc ba (căn bậc 3) Căn bậc n (căn bậc n)

n (số nguyên)

Biến x

Nghiệm Real roots only Complex roots

Dạng biểu diễn Rectangular (Cartesian) Polar

Số chữ số có nghĩa 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Công thức

Show calculation steps (1)

1. The n complex roots

   

   For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

Kết quả

Căn chính của x

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = 1,4142135624

#	Nghiệm
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
Số nghiệm	2
Độ lớn chung r	1,4142135624

Công cụ này làm được gì

Công cụ này tính căn bậc hai, căn bậc ba hoặc căn bậc n bất kỳ của một số thực x. Bạn có thể chỉ lấy nghiệm thực (đáp số quen thuộc) hoặc lấy toàn bộ n nghiệm phức, đồng thời hiển thị mỗi kết quả ở dạng đại số a + b·i hoặc dạng lượng giác r ∠ θ. Đây là công cụ toán học thuần túy, cho kết quả như nhau ở mọi nơi — không phụ thuộc vào quốc gia, tiền tệ hay đơn vị nào.

Cách sử dụng

Chọn loại căn. Chọn "Căn bậc hai" cho bậc \(n = 2\), "Căn bậc ba" cho \(n = 3\), hoặc "Căn bậc n" rồi tự nhập một số nguyên dương \(n\). Nhập số dưới căn \(x\). Chọn xem bạn muốn chỉ lấy nghiệm thực hay toàn bộ nghiệm phức, chọn dạng đại số hoặc dạng lượng giác, và chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Số chữ số chỉ ảnh hưởng đến cách trình bày; phép tính bên dưới luôn dùng độ chính xác double tiêu chuẩn.

Giải thích công thức

Viết \(x\) ở dạng lượng giác là \(\rho\cdot e^{i\varphi}\), trong đó \(\rho = |x|\) và \(\varphi = 0\) khi \(x\) không âm, hoặc \(\varphi = \pi\) khi \(x\) âm. Mọi căn bậc n đều có cùng độ lớn \(r = \rho^{1/n}\). Có \(n\) nghiệm phân biệt cách đều nhau một góc \(2\pi/n\):

$$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$

với \(k = 0,1,\ldots,n-1\). Một nghiệm là số thực chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.

n nghiệm phức được phân bố đều trên đường tròn bán kính \(|x|^{1/n}\).

Ví dụ minh họa

Lấy căn bậc ba của \(x = -8\) với nghiệm phức ở dạng đại số. Ở đây \(\rho = 8\), \(\varphi = \pi\), nên $$r = 8^{1/3} = 2.$$ Ba nghiệm là: \(1 + 1{,}7320508\cdot i\) (k=0, góc 60°), \(-2\) (k=1, góc 180° — chính là căn bậc ba thực), và \(1 - 1{,}7320508\cdot i\) (k=2, góc 300°). Ở chế độ chỉ lấy nghiệm thực, đáp số duy nhất là \(-2\).

Dạng cực \((r, \theta)\) liên hệ với dạng đại số \(a + bi\).

Câu hỏi thường gặp

Vì sao một số dương lại có hai căn bậc hai? Với \(n\) chẵn, một số dương dưới căn có cả nghiệm thực dương lẫn nghiệm thực âm, ví dụ căn bậc hai của 2 là \(+1{,}41421356\) và \(-1{,}41421356\).

Vì sao căn bậc hai của một số âm không có nghiệm thực? Khi \(n\) chẵn và \(x\) âm, không nghiệm nào nằm trên trục thực, nên chế độ chỉ lấy nghiệm thực sẽ trả về "không có nghiệm thực", còn chế độ phức vẫn cho đủ \(n\) nghiệm.

x âm có luôn cho một căn bậc ba thực không? Có — mỗi khi \(n\) lẻ thì luôn tồn tại đúng một nghiệm thực, bằng \(-|x|^{1/n}\).