這個計算器能做什麼
本工具可計算任意實數 \(x\) 的平方根、立方根或一般的 \(n\) 次方根。你可以只求實數根（也就是大家最熟悉的答案），也可以求出全部 \(n\) 個複數根；每個結果還能以直角座標 \(a + b\cdot i\) 或極座標 \(r \angle \theta\) 的形式呈現。這是一個純數學工具，在世界各地的算法完全相同——不涉及任何國家、貨幣或單位的假設。
使用方法
先選擇方根類型：要開平方就選「平方根」（次數 \(n = 2\)），要開立方就選「立方根」（\(n = 3\)），或選「N 次方根」並自行輸入正整數 \(n\)。接著輸入被開方數 \(x\)，再決定是只要實數根還是全部複數根，選擇直角座標或極座標顯示方式，並設定要呈現幾位有效數字。位數設定只影響顯示外觀；實際運算一律採用標準雙精度浮點數。
公式解析
將 \(x\) 寫成極式 \(\rho\cdot e^{i\varphi}\)，其中 \(\rho = |x|\)；當 \(x\) 為非負數時 \(\varphi = 0\)，當 \(x\) 為負數時 \(\varphi = \pi\)。所有 \(n\) 次方根的大小都相同，為 $$r = \rho^{1/n}.$$這 \(n\) 個相異的根會以 \(2\pi/n\) 的角度均勻分布：$$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right],$$其中 \(k = 0,1,\ldots,n-1\)。只有當某個根的虛部為零時，它才是實數根。
範例演算
以 \(x = -8\) 的立方根為例，並以直角座標求其複數根。此時 \(\rho = 8\)、\(\varphi = \pi\)，所以 \(r = 8^{1/3} = 2\)。三個根分別為：\(1 + 1.7320508\cdot i\)（k=0，角度 \(60°\)）、\(-2\)（k=1，角度 \(180°\)——即實數立方根），以及 \(1 - 1.7320508\cdot i\)（k=2，角度 \(300°\)）。若只求實數根，唯一的答案就是 \(-2\)。
常見問題
為什麼一個正數會有兩個平方根？當 \(n\) 為偶數時，正的被開方數會同時擁有一個正實根與一個負實根，例如 2 的平方根就是 \(+1.41421356\) 與 \(-1.41421356\)。
為什麼負數開平方沒有實數根？當 \(n\) 為偶數且 \(x\) 為負數時，所有的根都不會落在實數軸上，因此「只求實根」模式會回傳「無實數根」，而複數模式仍會給出全部 \(n\) 個根。
負的 \(x\) 一定會有實數立方根嗎？是的——只要 \(n\) 為奇數，就一定恰好有一個實數根，其值為 \(-|x|^{1/n}\)。
