透過 MCP 連接 →

輸入計算

數學公式

數學公式: 平方根/立方根/n 次方根表格與圖形計算機
Show calculation steps (1)
  1. Negative base, odd integer root

    Negative base, odd integer root: 平方根/立方根/n 次方根表格與圖形計算機

    When x is negative and n is an odd integer, the real nth root is negative. Even or non-integer roots of negatives have no real value.

廣告

結果

已計算的取樣點數
101
root index n = 2
摘要 數值
第一個 y 0
最後一個 y 2.236068
y=x 的 n 次方根(表格如下)
x y
0 0
0.05 0.223607
0.1 0.316228
0.15 0.387298
0.2 0.447214
0.25 0.5
0.3 0.547723
0.35 0.591608
0.4 0.632456
0.45 0.67082
0.5 0.707107
0.55 0.74162
0.6 0.774597
0.65 0.806226
0.7 0.83666
0.75 0.866025
0.8 0.894427
0.85 0.921954
0.9 0.948683
0.95 0.974679
1 1
1.05 1.024695
1.1 1.048809
1.15 1.072381
1.2 1.095445
1.25 1.118034
1.3 1.140175
1.35 1.161895
1.4 1.183216
1.45 1.204159
1.5 1.224745
1.55 1.24499
1.6 1.264911
1.65 1.284523
1.7 1.30384
1.75 1.322876
1.8 1.341641
1.85 1.360147
1.9 1.378405
1.95 1.396424
2 1.414214
2.05 1.431782
2.1 1.449138
2.15 1.466288
2.2 1.48324
2.25 1.5
2.3 1.516575
2.35 1.532971
2.4 1.549193
2.45 1.565248
2.5 1.581139
2.55 1.596872
2.6 1.612452
2.65 1.627882
2.7 1.643168
2.75 1.658312
2.8 1.67332
2.85 1.688194
2.9 1.702939
2.95 1.717556
3 1.732051
3.05 1.746425
3.1 1.760682
3.15 1.774824
3.2 1.788854
3.25 1.802776
3.3 1.81659
3.35 1.830301
3.4 1.843909
3.45 1.857418
3.5 1.870829
3.55 1.884144
3.6 1.897367
3.65 1.910497
3.7 1.923538
3.75 1.936492
3.8 1.949359
3.85 1.962142
3.9 1.974842
3.95 1.987461
4 2
4.05 2.012461
4.1 2.024846
4.15 2.037155
4.2 2.04939
4.25 2.061553
4.3 2.073644
4.35 2.085665
4.4 2.097618
4.45 2.109502
4.5 2.12132
4.55 2.133073
4.6 2.144761
4.65 2.156386
4.7 2.167948
4.75 2.179449
4.8 2.19089
4.85 2.202272
4.9 2.213594
4.95 2.22486
5 2.236068

這個計算機能做什麼

本工具會在一段 x 範圍內,計算並繪製根號函數的表格與圖形。你可以選擇要使用的函數——平方根、立方根,或一般的 n 次方根——再設定 x 範圍的起點與終點,以及各點之間的間距。它會在每個取樣點上計算 y=x 的 n 次方根,並以 (x, y) 配對表格與折線圖呈現結果。這純粹是數學運算,全世界通用,不涉及任何單位或各國法規。本工具僅支援實數結果(不處理複數)。

使用方式

先選擇「函數」。若選 n 次方根,請輸入整數階數 \(n\)(例如輸入 5 代表五次方根);若選平方根或立方根,\(n\) 會被忽略,並固定為 2 與 3。接著設定「x 範圍(起點)」、「x 範圍(終點)」與「間距」。間距必須大於零,且 \(n\) 不可為零。計算機會產生 x=起點、起點+間距、起點+2×間距……一直到(含)終點為止的各個點,最多 301 個點。

公式說明

每個取樣點為 $$x_i = x_{\min} + i\,\Delta x,\quad y_i = x_i^{1/n}.$$ 當 \(x \ge 0\) 時可直接計算。當 \(x < 0\) 時,只有在 \(n\) 為奇整數時才存在實數的 n 次方根,此時 $$y = -\,|x|^{1/n};$$ 若為偶次方根(含平方根)或非整數階數,則負的 \(x\) 沒有實數解,會被標示為未定義。

x-y 座標軸上從原點上升的平方根、立方根和更高次 n 次根曲線
平方根、立方根和更高次 n 次根的曲線圖,隨著 x 增大都先上升後趨於平緩。

實際範例

立方根(\(n=3\)),x 從 \(-8\) 到 \(8\)、間距為 \(4\),可得 \(x = -8,\ -4,\ 0,\ 4,\ 8\)。對應的 y 值為 \(-2,\ -1.5874,\ 0,\ 1.5874\) 與 \(2\)。由於立方根的階數為奇數,負的輸入值會回傳實數的負根。

將 x 值對應到 n 次根值的資料表,旁邊是一條小的繪製曲線
每個取樣的 x 值都會產生一個根值,從而構成表格的列和圖上的點。

常見問題

為什麼負數的平方根是空白的?負數的偶次方根不是實數;本工具不處理複數結果。

為什麼我的表格提早結束?輸出最多只到 301 個點。請縮小範圍或加大間距,才能涵蓋整個區間。

可以使用非整數階數嗎?對非負的 \(x\) 可以;但對負的 \(x\),非整數階數沒有實數解,會顯示為未定義。

最後更新: