Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule la racine carrée, cubique ou n-ième de n'importe quel nombre réel x. Vous pouvez demander uniquement la racine réelle (la réponse habituelle) ou bien l'ensemble des n racines complexes, et afficher chaque résultat sous forme cartésienne \(a + b\cdot i\) ou sous forme polaire \(r \angle \theta\). Il s'agit d'un outil purement mathématique, valable partout de la même manière : aucune hypothèse de pays, de devise ou d'unité n'entre en jeu.
Comment l'utiliser
Choisissez le type de racine. Sélectionnez « Racine carrée » pour le degré \(n = 2\), « Racine cubique » pour \(n = 3\), ou « Racine n-ième » et saisissez votre propre entier positif \(n\). Indiquez le radicande \(x\). Précisez si vous souhaitez uniquement les racines réelles ou toutes les racines complexes, optez pour l'affichage cartésien ou polaire, puis choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Ce nombre de chiffres est purement esthétique : les calculs internes s'appuient sur la précision double standard.
La formule expliquée
Écrivons \(x\) sous forme polaire : \(\rho\cdot e^{i\varphi}\), où \(\rho = |x|\) et \(\varphi = 0\) lorsque \(x\) est positif ou nul, \(\varphi = \pi\) lorsque \(x\) est négatif. Toutes les racines n-ièmes ont le même module \(r = \rho^{1/n}\). Les \(n\) racines distinctes sont réparties uniformément avec un écart angulaire de \(2\pi/n\) :
$$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$pour \(k = 0, 1, \ldots, n-1\). Une racine n'est réelle que lorsque sa partie imaginaire est nulle.
Exemple détaillé
Prenons la racine cubique de \(x = -8\) avec les racines complexes sous forme cartésienne. Ici \(\rho = 8\) et \(\varphi = \pi\), donc
$$r = 8^{1/3} = 2$$Les trois racines sont : \(1 + 1{,}7320508\cdot i\) (k=0, angle 60°), \(-2\) (k=1, angle 180° — la racine cubique réelle) et \(1 - 1{,}7320508\cdot i\) (k=2, angle 300°). En mode racines réelles uniquement, la seule réponse est \(-2\).
FAQ
Pourquoi un nombre positif possède-t-il deux racines carrées ? Pour un \(n\) pair, un radicande positif admet une racine réelle positive et une racine réelle négative ; par exemple, les racines carrées de 2 sont \(+1{,}41421356\) et \(-1{,}41421356\).
Pourquoi n'y a-t-il pas de racine réelle pour la racine carrée d'un nombre négatif ? Lorsque \(n\) est pair et que \(x\) est négatif, aucune racine ne se situe sur l'axe réel : le mode « racines réelles uniquement » renvoie donc « aucune racine réelle », tandis que le mode complexe fournit malgré tout les \(n\) racines.
Un x négatif donne-t-il toujours une racine cubique réelle ? Oui : dès que \(n\) est impair, il existe exactement une racine réelle, égale à \(-|x|^{1/n}\).
