वर्गमूल, घनमूल और nवाँ मूल कैलकुलेटर (सम्मिश्र मूलों सहित)

गणना दर्ज करें

मूल का प्रकार वर्गमूल (sqrt) घनमूल (3-मूल) nवाँ मूल (n-मूल)

n (पूर्णांक)

चर x

मूल Real roots only Complex roots

प्रदर्शन रूप Rectangular (Cartesian) Polar

सार्थक अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. The n complex roots

   

   For k = 0,1,...,n-1 with phi = 0 when x >= 0 and phi = pi when x < 0.

परिणाम

x का मुख्य मूल

1.4142135623731

degree n = 2, magnitude r = 1.4142135624

#	मूल
0	1.4142135623731
1	-1.4142135623731
मूलों की संख्या	2
उभयनिष्ठ परिमाण r	1.4142135624

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी भी वास्तविक संख्या x का वर्गमूल, घनमूल या सामान्य nवाँ मूल निकालता है। आप चाहें तो सिर्फ़ वास्तविक मान वाला मूल (वही जाना-पहचाना उत्तर) ले सकते हैं या सभी n सम्मिश्र मूल देख सकते हैं, और हर परिणाम को आयताकार रूप \(a + b\cdot i\) में या ध्रुवीय रूप \(r \angle \theta\) में दिखा सकते हैं। यह विशुद्ध गणित का टूल है जो हर जगह एक जैसा काम करता है — इसमें किसी देश, मुद्रा या इकाई की कोई मान्यता लागू नहीं होती।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले मूल का प्रकार चुनें। घात \(n = 2\) के लिए "वर्गमूल", \(n = 3\) के लिए "घनमूल", या "nवाँ मूल" चुनकर अपनी मनचाही धनात्मक पूर्णांक संख्या \(n\) टाइप करें। फिर मूलक \(x\) दर्ज करें। तय करें कि आपको केवल वास्तविक मूल चाहिए या सभी सम्मिश्र मूल, आयताकार या ध्रुवीय प्रदर्शन चुनें, और तय करें कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं। अंकों की संख्या केवल दिखावट के लिए है; भीतर की गणना मानक डबल प्रिसिज़न (double precision) पर ही होती है।

सूत्र की समझ

x को ध्रुवीय रूप में \(\rho\cdot e^{i\varphi}\) के रूप में लिखें, जहाँ \(\rho = |x|\) और जब x अऋणात्मक हो तो \(\varphi = 0\), और जब x ऋणात्मक हो तो \(\varphi = \pi\)। हर nवें मूल का परिमाण एक ही होता है: $$r = \rho^{1/n}$$ ये n अलग-अलग मूल \(2\pi/n\) कोण के अंतराल पर बराबर दूरी पर बँटे होते हैं: $$w_k = r\left[\cos\tfrac{\varphi+2\pi k}{n} + i\cdot\sin\tfrac{\varphi+2\pi k}{n}\right]$$ जहाँ \(k = 0,1,\ldots,n-1\)। कोई मूल तभी वास्तविक होता है जब उसका काल्पनिक भाग शून्य हो।

n सम्मिश्र मूल \(|x|^{1/n}\) त्रिज्या वाले वृत्त पर समान दूरी पर स्थित होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x = -8\) का घनमूल आयताकार रूप में सम्मिश्र मूलों के साथ लीजिए। यहाँ \(\rho = 8\), \(\varphi = \pi\), इसलिए \(r = 8^{1/3} = 2\) है। तीनों मूल हैं: \(1 + 1.7320508\cdot i\) (k=0, कोण 60°), \(-2\) (k=1, कोण 180° — यही वास्तविक घनमूल है), और \(1 - 1.7320508\cdot i\) (k=2, कोण 300°)। केवल-वास्तविक मोड में अकेला उत्तर \(-2\) होता है।

ध्रुवीय रूप \((r, \theta)\) आयताकार रूप \(a + bi\) से संबंधित होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल क्यों होते हैं? सम n के लिए धनात्मक मूलक के एक धनात्मक और एक ऋणात्मक, दोनों वास्तविक मूल होते हैं; जैसे 2 के वर्गमूल \(+1.41421356\) और \(-1.41421356\) हैं।

ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का कोई वास्तविक मूल क्यों नहीं होता? जब n सम हो और x ऋणात्मक हो, तब कोई भी मूल वास्तविक अक्ष पर नहीं पड़ता, इसलिए केवल-वास्तविक मोड "कोई वास्तविक मूल नहीं" लौटाता है, जबकि सम्मिश्र मोड फिर भी सभी n मूल देता है।

क्या ऋणात्मक x का हमेशा एक वास्तविक घनमूल होता है? हाँ — जब भी n विषम हो, ठीक एक वास्तविक मूल होता है, जो \(-|x|^{1/n}\) के बराबर होता है।