편차치란 무엇인가요?
편차치는 일본에서 헨사치(偏差値)라고 부르는 T-점수로, 하나의 값이 그 집단의 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 표준편차 단위로 나타낸 뒤 평균이 정확히 50이 되도록 다시 척도화한 수치입니다. 평균보다 표준편차 1만큼 높을 때마다 10점을 더하고, 1만큼 낮을 때마다 10점을 뺍니다. 본질적으로는 순수한 통계 변환이기 때문에 어떤 숫자 목록에도 적용할 수 있지만, 여러 시험에 걸친 성적을 비교하는 일본의 학교·입시 제도에서 가장 널리 쓰입니다. 한국의 수능 표준점수와 비슷한 발상이지만 계산 방식과 척도는 다르므로 그대로 비교하기는 어렵습니다.
계산기 사용법
원점수를 격자 형태로 입력하세요. 한 줄에 한 행씩(각 행은 한 사람 또는 한 항목), 값은 쉼표나 공백으로 구분합니다(각 열은 한 과목 또는 한 시험). 이 계산기는 각 열을 독립적으로 표준화하여 모든 칸에 대한 편차치를 돌려줍니다. 또한 합계(Total) 열을 추가하는데, 각 행의 값을 모두 더한 뒤 그 행 합계들끼리 서로 표준화합니다. 참고용으로 각 열의 평균과 모집단 표준편차도 함께 표시됩니다.
계산 공식
값 \(x_1..x_m\)으로 이루어진 한 열에 대해, 먼저 평균 \(\mu = \frac{1}{m}\cdot\sum x_i\)를 구하고, 이어서 모집단 표준편차 \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{m}\cdot\sum (x_i-\mu)^2}\)를 계산합니다. 어떤 값의 편차치는
$$T = 50 + 10 \cdot \frac{x - \mu}{\sigma}$$입니다. 만약 한 열의 값이 모두 똑같다면(\(\sigma = 0\)) 0으로 나누는 것을 막기 위해 모든 칸이 정확히 50점이 됩니다.
계산 예시
기본 데이터의 1열을 봅시다: 80, 50, 70, 90, 60. 평균은 \(350/5 = 70\)입니다. 편차 제곱의 합이 1000이므로 분산은 200, \(\sigma \approx 14.1421\)이 됩니다. 첫 번째 칸인 80은 \(50 + 10\cdot(10/14.1421) \approx 57.07\)점이 됩니다. 행 합계는 각각 230, 160, 220, 220, 210이며, 이들의 평균은 208, \(\sigma \approx 24.8193\)으로 이 값들이 추가되는 합계(Total) 열을 만듭니다.
자주 묻는 질문
왜 표본이 아니라 모집단 표준편차를 쓰나요? 헨사치 관례는 \(m-1\)이 아니라 \(m\)으로 나누므로, 이 도구도 모집단 공식을 사용합니다.
한 열의 점수가 전부 같으면 어떻게 되나요? 표준편차가 0이 되므로 모든 칸에 편차치 50이 부여됩니다.
열의 길이가 서로 달라도 되나요? 각 행은 가장 긴 행에 맞춰 0으로 채워집니다. 깔끔한 결과를 얻으려면 빈 칸 없는 직사각형 격자로 입력하세요.
