Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu araç, sabit terimli bir sürekli kesri değerlendirir: \(f = b_0 + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cdots}}}\) biçimindeki, her kısmi payın aynı a değerine (sizin a_n'iniz) ve her kısmi paydanın aynı b değerine (sizin b_n'iniz) eşit olduğu bir sürekli kesir. Baştaki b0 terimi ise kesrin dışında durur. Tamamen matematiksel bir araçtır ve her yerde aynı şekilde çalışır.
Nasıl kullanılır?
İlk terim b0, sabit pay a_n, sabit payda b_n ve iç içe geçen seviye sayısı n (en fazla 1000) değerlerini girin. Hesaplayıcı, kesilmiş değer f_n'i ve f_1, f_2, f_3 ... gibi ilk yakınsayanların tablosunu verir; böylece bu değerlerin limite nasıl oturduğunu adım adım görebilirsiniz.
Formülün açıklaması
Değer, sayısal olarak kararlı bir geriye dönük (alttan yukarıya) yineleme ile hesaplanır. En içteki seviyeden \(t = b\) ile başlanır. Ardından k değeri n'den 2'ye doğru azalırken \(t = b + \frac{a}{t}\) alınır. Son olarak \(f_n = b_0 + \frac{a}{t}\) bulunur. Yakınsayanlar tablosu ise klasik Wallis yinelemesini kullanır: \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\) ve \(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\), buradan da \(f_m = \frac{h_m}{k_m}\) elde edilir. Kesir yakınsadığında limit, \(b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}\) değerine eşittir.
Çözümlü örnek
\(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\) alalım. Geriye dönük yineleme şöyle ilerler: $$t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421$$ ve \(f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356\) çıkar; bu da 2'nin kareköküdür. Gerçekten de $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}$$ olur.
Sıkça sorulan sorular
Ya yakınsamıyorsa? Ara bir payda tam olarak 0 olursa ya da \(b^2 + 4a < 0\) ise değer tanımsız kalabilir veya salınım yapabilir; bu durumda hesaplayıcı "tanımsız" sonucunu döndürür.
Neden sabit a_n ve b_n? Pek çok ünlü sabit bu yolla ortaya çıkar: \(a=1\), \(b=1\) altın oran olan 1.6180339887'yi verir; \(a=1\), \(b=2\) ise \(\sqrt{2}\)'yi verir. Sabit bir kuyruk, basit bir ikinci dereceden limite sahiptir.
f_n ne kadar doğrudur? Sabit terimler için yakınsama geometrik olduğundan, genellikle birkaç düzine terim tam çift duyarlıklı (double) hassasiyete ulaşmaya yeter.
