この計算ツールについて
このツールは、各項が一定の連分数、すなわち \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\) の形を計算します。ここで部分分子はすべて同じ値 \(a\)（入力の \(a_n\)）、部分分母はすべて同じ値 \(b\)（入力の \(b_n\)）になります。先頭の項 \(b_0\) は連分数の外側に置かれます。純粋に数学的なツールなので、どの国・地域でも同じ結果になります。
使い方
初項 b0、一定の分子 a_n、一定の分母 b_n、そして入れ子の段数 n（最大1000）を入力してください。打ち切ったときの値 \(f_n\) と、初期の近似分数 \(f_1, f_2, f_3 \ldots\) を並べた表が出力され、値が極限に収束していく様子を確認できます。
計算式の解説
値は数値的に安定した後退（内側から外側へ）漸化式で求めます。まず最も内側の段で \(t = b\) とし、\(k\) を \(n\) から 2 まで減らしながら \(t = b + a/t\) を計算します。最後に \(f_n = b_0 + a/t\) とします。一方、近似分数の表には古典的なウォリスの漸化式 \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\)、\(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\) を用い、\(f_m = h_m/k_m\) として求めます。連分数が収束する場合、その極限は $$f = b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}$$ に等しくなります。
計算例
\(b_0 = 1\)、\(a_n = 1\)、\(b_n = 2\)、\(n = 10\) とします。後退漸化式は \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\) と進み、 $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356$$ となります。これは 2 の平方根です。実際に $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}$$ が成り立ちます。
よくある質問
収束しない場合はどうなりますか？ 途中の分母がちょうど 0 になったり、\(b^2 + 4a < 0\) のときは、値が定義できなかったり振動したりすることがあります。その場合、本計算は「定義されない」と表示します。
なぜ a_n・b_n を一定にするのですか？ 多くの有名な定数がこの形で現れるからです。\(a=1\)、\(b=1\) なら黄金比 1.6180339887、\(a=1\)、\(b=2\) なら \(\sqrt{2}\) になります。末尾が一定の連分数は、シンプルな二次方程式の解として極限が求まります。
f_n の精度はどれくらいですか？ 各項が一定の場合、収束は幾何級数的に速いため、通常は数十項で倍精度の有効桁すべてに達します。
