Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue une fraction continue à termes constants, c'est-à-dire une fraction continue de la forme \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\) où chaque numérateur partiel vaut toujours la même valeur \(a\) (votre \(a_n\)) et chaque dénominateur partiel toujours la même valeur \(b\) (votre \(b_n\)). Le terme initial \(b_0\) se place en dehors de la fraction. Il s'agit d'un outil de mathématiques pures, valable partout de façon identique.
Comment l'utiliser
Saisissez le terme initial \(b_0\), le numérateur constant \(a_n\), le dénominateur constant \(b_n\) et le nombre de niveaux imbriqués \(n\) (jusqu'à 1000). Le calculateur renvoie la valeur tronquée \(f_n\) ainsi qu'un tableau des premières réduites \(f_1, f_2, f_3 \ldots\) pour vous permettre de les voir converger vers la limite.
La formule expliquée
La valeur est calculée à l'aide d'une récurrence arrière (de bas en haut), numériquement stable. On part du niveau le plus profond avec \(t = b\). Ensuite, pour \(k\) allant de \(n\) jusqu'à 2, on pose \(t = b + a/t\). Enfin, $$f_n = b_0 + \frac{a}{t}.$$ Le tableau des réduites s'appuie quant à lui sur la récurrence classique de Wallis : $$h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2} \quad\text{et}\quad k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2},$$ ce qui donne \(f_m = h_m/k_m\). Lorsque la fraction converge, la limite vaut $$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}.$$
Exemple concret
Prenons \(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\). La récurrence arrière se déroule ainsi : \(t = 2 \to 2{,}5 \to 2{,}4 \to 2{,}41667 \to \cdots \to 2{,}41421\), d'où $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1{,}41421356,$$ soit la racine carrée de 2. On a en effet $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
FAQ
Et si la fraction ne converge pas ? Si un dénominateur intermédiaire devient exactement nul, ou si \(b^2 + 4a < 0\), la valeur peut être indéfinie ou osciller ; le calculateur affiche alors « indéfini ».
Pourquoi des \(a_n\) et \(b_n\) constants ? De nombreuses constantes célèbres naissent ainsi : \(a = 1\), \(b = 1\) donne le nombre d'or \(1{,}6180339887\) ; \(a = 1\), \(b = 2\) donne \(\sqrt{2}\). Une queue constante possède une limite quadratique simple.
Quelle est la précision de \(f_n\) ? Avec des termes constants, la convergence est géométrique : quelques dizaines de termes suffisent généralement à atteindre la pleine précision double.
