這個計算機的用途
本工具用來計算各項皆為常數的連分數，形式為 \(f = b_0 + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cfrac{a}{b + \cdots}}}\)，其中每一層的分子都等於同一個值 \(a\)（即你輸入的 \(a_n\)），每一層的分母也都等於同一個值 \(b\)（即你輸入的 \(b_n\)）。首項 \(b_0\) 則位於整段分數之外。這是一個純數學工具，在任何地方計算結果都相同。
使用方式
請輸入首項 \(b_0\)、常數分子 \(a_n\)、常數分母 \(b_n\)，以及巢狀層數 \(n\)（最多 1000 層）。計算機會回傳截斷後的數值 \(f_n\)，並列出前幾項的逐次漸近值 \(f_1\)、\(f_2\)、\(f_3\)……，讓你親眼看到它們如何逐漸收斂到極限值。
公式說明
數值採用在數值上較穩定的「由內而外」（bottom-up）反向遞迴計算。從最內層開始令 \(t = b\)，接著讓 \(k\) 由 \(n\) 遞減到 2，每一步設 \(t = b + a/t\)，最後得到 \(f_n = b_0 + a/t\)。至於逐次漸近值表格，則採用經典的 Wallis 遞迴：$$h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}$$ 與 $$k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}$$，再由 \(f_m = h_m/k_m\) 求得。當連分數收斂時，其極限值等於 $$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}.$$
實際範例
取 \(b_0 = 1\)、\(a_n = 1\)、\(b_n = 2\)、\(n = 10\)。反向遞迴的過程為 \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\)，於是 \(f_{10} = 1 + 1/t \approx 1.41421356\)，正好是 2 的平方根。換句話說，$$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
常見問題
如果不收斂怎麼辦？若中間某一層的分母恰好變成 0，或 \(b^2 + 4a < 0\)，數值可能無法定義或不斷震盪；此時計算機會顯示「未定義」。
為什麼 a_n 和 b_n 要取常數？許多著名常數都是這樣產生的：\(a=1\)、\(b=1\) 會得到黃金比例 \(1.6180339887\)；\(a=1\)、\(b=2\) 則得到 \(\sqrt{2}\)。常數型的尾端會有一個簡單的二次方程式極限。
f_n 的精確度如何？對於常數項而言，收斂速度為幾何級數，因此通常只要數十項就能達到雙精度浮點數的完整精度。
