Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa una fracción continua de términos constantes: una fracción continua de la forma \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\) en la que todos los numeradores parciales valen lo mismo (tu \(a_n\)) y todos los denominadores parciales valen lo mismo (tu \(b_n\)). El término inicial \(b_0\) queda fuera de la fracción. Es una herramienta de matemática pura, así que funciona igual en cualquier país.
Cómo usarla
Introduce el término inicial b0, el numerador constante a_n, el denominador constante b_n y el número de niveles anidados n (hasta 1000). La calculadora devuelve el valor truncado \(f_n\) y una tabla con los primeros convergentes \(f_1, f_2, f_3\)... para que veas cómo se acercan al límite.
La fórmula, explicada
El valor se calcula con una recurrencia hacia atrás (de abajo hacia arriba), numéricamente estable. Se empieza en el nivel más interno con \(t = b\). Luego, para \(k\) desde \(n\) hasta \(2\), se hace \(t = b + a/t\). Por último,
$$f_n = b_0 + \cfrac{a}{t}.$$En cambio, la tabla de convergentes emplea la clásica recurrencia de Wallis \(h_m = b\cdot h_{m-1} + a\cdot h_{m-2}\) y \(k_m = b\cdot k_{m-1} + a\cdot k_{m-2}\), de modo que \(f_m = h_m/k_m\). Cuando la fracción converge, el límite es
$$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}.$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\). La recurrencia hacia atrás avanza \(t = 2 \to 2{,}5 \to 2{,}4 \to 2{,}41667 \to \cdots \to 2{,}41421\), y
$$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1{,}41421356,$$que es la raíz cuadrada de 2. En efecto,
$$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
Preguntas frecuentes
¿Y si no converge? Si un denominador intermedio llega a valer exactamente \(0\), o si \(b^2 + 4a < 0\), el valor puede quedar indefinido u oscilar; en ese caso la calculadora indica «indefinido».
¿Por qué a_n y b_n constantes? Muchas constantes célebres surgen así: con \(a=1\), \(b=1\) se obtiene el número áureo \(1{,}6180339887\); con \(a=1\), \(b=2\) se obtiene \(\sqrt{2}\). Una cola constante tiene un límite cuadrático sencillo.
¿Cuánta precisión tiene f_n? Con términos constantes la convergencia es geométrica, así que unas pocas docenas de términos suelen bastar para alcanzar toda la precisión doble.
