यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल स्थिर पदों वाली सतत भिन्न (continued fraction) का मान निकालता है, यानी \(f = b_0 + a/(b + a/(b + a/(b + \cdots)))\) रूप की भिन्न, जहाँ हर आंशिक अंश समान मान \(a\) (आपका \(a_n\)) के बराबर होता है और हर आंशिक हर समान मान \(b\) (आपका \(b_n\)) के बराबर होता है। प्रारंभिक पद \(b_0\) भिन्न के बाहर रहता है। यह विशुद्ध गणित का टूल है और हर देश में एक जैसा ही काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रारंभिक पद b0, स्थिर अंश a_n, स्थिर हर b_n और नेस्टेड स्तरों की संख्या n (अधिकतम 1000 तक) दर्ज करें। कैलकुलेटर छंटा हुआ मान \(f_n\) और शुरुआती अभिसारी \(f_1, f_2, f_3 \ldots\) की एक तालिका देता है, ताकि आप देख सकें कि वे किस तरह सीमा (limit) पर स्थिर होते जाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
मान की गणना एक संख्यात्मक रूप से स्थिर पश्च (नीचे-से-ऊपर) पुनरावृत्ति से की जाती है। सबसे भीतरी स्तर पर \(t = b\) से शुरुआत करें। फिर \(k\) को \(n\) से घटाते हुए 2 तक के लिए \(t = b + a/t\) रखें। अंत में \(f_n = b_0 + a/t\)। दूसरी ओर अभिसारी तालिका के लिए शास्त्रीय वॉलिस पुनरावृत्ति का उपयोग होता है: \(h_m = b \cdot h_{m-1} + a \cdot h_{m-2}\) और \(k_m = b \cdot k_{m-1} + a \cdot k_{m-2}\), जिससे \(f_m = h_m/k_m\) मिलता है। जब भिन्न अभिसरित होती है, तब सीमा $$b_0 + \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4a}}{2}$$ के बराबर होती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(b_0 = 1\), \(a_n = 1\), \(b_n = 2\), \(n = 10\)। पश्च पुनरावृत्ति इस प्रकार चलती है: \(t = 2 \to 2.5 \to 2.4 \to 2.41667 \to \cdots \to 2.41421\), और $$f_{10} = 1 + \frac{1}{t} \approx 1.41421356,$$ जो कि 2 का वर्गमूल है। वास्तव में $$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cdots}} = \sqrt{2}.$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर यह अभिसरित न हो तो? यदि कोई मध्यवर्ती हर ठीक 0 हो जाए, या \(b^2 + 4a < 0\) हो, तो मान अपरिभाषित हो सकता है या दोलन कर सकता है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर "अपरिभाषित" बताता है।
a_n और b_n स्थिर ही क्यों? कई प्रसिद्ध स्थिरांक इसी तरह सामने आते हैं: \(a=1, b=1\) से स्वर्ण अनुपात (golden ratio) \(1.6180339887\) मिलता है; \(a=1, b=2\) से \(\sqrt{2}\) मिलता है। स्थिर पूँछ (tail) की सीमा एक सरल द्विघात समीकरण से प्राप्त होती है।
f_n कितना सटीक होता है? स्थिर पदों के लिए अभिसरण ज्यामितीय (geometric) होता है, इसलिए कुछ दर्जन पद ही आमतौर पर पूर्ण डबल-प्रिसिज़न सटीकता तक पहुँचा देते हैं।
