कोसाइन समानता क्या है?
कोसाइन समानता यह बताती है कि दो वेक्टर किस हद तक एक ही दिशा की ओर इशारा करते हैं। यह दोनों के बीच के कोण का कोसाइन होता है और इसका मान −1 (बिल्कुल विपरीत दिशा) से लेकर 0 (लंबवत) होते हुए 1 (एकदम समान दिशा) तक रहता है। चूँकि यह केवल दिशा पर निर्भर करती है, परिमाण (magnitude) पर नहीं, इसलिए मशीन लर्निंग, टेक्स्ट माइनिंग और रेकमेंडेशन सिस्टम में दस्तावेज़ों, एम्बेडिंग और फीचर वेक्टर की तुलना के लिए इसका खूब इस्तेमाल होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर A और वेक्टर B के x, y और (वैकल्पिक रूप से) z घटक दर्ज करें। अगर आप दो आयामों (2D) में काम करना चाहते हैं, तो z वाले फ़ील्ड खाली छोड़ दें या उनमें शून्य भर दें। कैलकुलेटर आपको कोसाइन समानता के साथ-साथ डॉट प्रोडक्ट, हर वेक्टर का परिमाण और दोनों वेक्टर के बीच का कोण डिग्री और रेडियन दोनों में दिखाएगा।
फ़ॉर्मूला समझें
डॉट प्रोडक्ट घटकों के गुणनफलों का योग होता है: $$\vec{A}\cdot\vec{B} = \text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z$$ किसी वेक्टर का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है: $$\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{\text{A}_x^{2} + \text{A}_y^{2} + \text{A}_z^{2}}$$ डॉट प्रोडक्ट को दोनों परिमाणों के गुणनफल से भाग देने पर परिणाम −1 से 1 की सीमा में सामान्यीकृत (normalize) हो जाता है, जो कोण θ का कोसाइन देता है: $$\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}$$ इसका प्रतिलोम कोसाइन (arccos) लेने पर कोण स्वयं प्राप्त हो जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = (1, 2, 3) और B = (4, 5, 6) हैं। डॉट प्रोडक्ट होगा \(1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 = 4 + 10 + 18 = 32\)। परिमाण होंगे \(\lVert A\rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\) और \(\lVert B\rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\)। तो $$\cos\theta = \frac{32}{3.7417 \times 8.7750} \approx 0.9746$$ जो लगभग 12.93° के कोण के बराबर है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
कोसाइन समानता 0 होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि दोनों वेक्टर लंबवत (orthogonal) हैं, यानी 90° के कोण पर हैं, जो दिखाता है कि उनमें कोई दिशागत समानता नहीं है।
क्या परिणाम ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक मान का मतलब है कि वेक्टर मोटे तौर पर विपरीत दिशाओं में इशारा कर रहे हैं; −1 का मतलब है कि वे बिल्कुल विपरीत (antiparallel) हैं।
यह यूक्लिडियन दूरी से कैसे अलग है? कोसाइन समानता परिमाण को नज़रअंदाज़ करके केवल दिशा की तुलना करती है, जबकि यूक्लिडियन दूरी वेक्टर के सिरों के बीच की सीधी रेखा की दूरी मापती है।
