Что делает этот калькулятор
Калькулятор угла по теореме косинусов находит внутренний угол любого треугольника, если известны длины всех трёх сторон. По сторонам a, b и c он вычисляет угол C — угол, лежащий напротив стороны c, — и выводит его сразу в градусах и радианах. Это обратное применение теоремы косинусов, которое работает для любого треугольника: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного.
Как пользоваться
Введите длины трёх сторон. Убедитесь, что сторона c лежит точно напротив искомого угла, а стороны a и b образуют этот угол. Единицы измерения могут быть любыми (см, м, дюймы) — важно лишь, чтобы все три стороны были заданы в одних и тех же единицах. Чтобы найти другой угол, просто переставьте значения так, чтобы напротив искомого угла оказалась сторона c.
Разбор формулы
Теорема косинусов гласит: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(C)\). Выразив косинус, получаем \(\cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), а взяв арккосинус — сам угол: $$C = \arccos\!\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$ Когда \(a^2 + b^2 = c^2\), косинус обращается в ноль и \(C = 90°\), то есть мы возвращаемся к теореме Пифагора.
Пример расчёта
Для треугольника со сторонами \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\): $$\cos(C) = \frac{25 + 36 - 49}{2\cdot 5\cdot 6} = \frac{12}{60} = 0{,}2$$ Тогда \(C = \arccos(0{,}2) \approx 1{,}36944\) радиан \(\approx\) 78,46°.
Частые вопросы
Какой именно угол вычисляется? Угол C — тот, что лежит напротив стороны c. Чтобы найти любой другой угол, поменяйте порядок сторон местами.
Что, если из сторон нельзя составить треугольник? Если одна сторона длиннее суммы двух других, косинус выходит за пределы диапазона \([-1, 1]\). Калькулятор ограничивает значение, чтобы результат оставался корректным, но такие стороны не образуют настоящий треугольник.
Подходит ли он для прямоугольных треугольников? Да — при \(a^2 + b^2 = c^2\) вы получите ровно 90°.
