ما هي حاسبة الجيب العكسي؟
الجيب العكسي (ويُكتب أيضًا sin⁻¹ أو asin) هو الدالة العكسية لدالة الجيب. في المثلث القائم الزاوية، يساوي جيب الزاوية طولَ الضلع المقابل لها مقسومًا على الوتر. تعكس هذه الحاسبة هذه العلاقة: إذا أعطيتها طول الضلع المقابل وطول الوتر، تُرجِع لك الزاوية \(\theta\) التي ينتج عنها هذا النسبة. وتظهر النتيجة بالدرجات والراديان معًا.
طريقة الاستخدام
أدخل طول الضلع المقابل للزاوية، ثم طول الوتر (وهو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية). اضغط على «احسب» واقرأ قيمة الزاوية. يجب أن يكون الوتر مساويًا لطول الضلع المقابل على الأقل أو أطول منه، حتى تبقى النسبة محصورة بين \(-1\) و\(1\) — وهو المجال الصالح لدالة الجيب العكسي. وإذا أدخلت ضلعًا مقابلًا أطول من الوتر، تُقيَّد النسبة عند \(\pm 1\) (فتكون النتيجة 90° أو −90°).
شرح المعادلة
المعادلة الأساسية هي $$\theta = \arcsin\left(\frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}\right) \times \frac{180}{\pi}$$ تُحسب النسبة أولًا، ثم تُرجِع دالة الجيب العكسي زاويةً بالراديان محصورة بين \(-\pi/2\) و\(\pi/2\). ونحوّلها إلى درجات بضربها في \(\frac{180}{\pi}\). وبما أن الجيب العكسي معرّف فقط للمدخلات في المجال \([-1, 1]\)، فإن الأداة تحمي من النسب الواقعة خارج هذا المجال.
مثال محلول
لنفترض أن طول الضلع المقابل هو 3 وطول الوتر هو 5. تكون النسبة \(3 \div 5 = 0.6\). ومن ثَمّ $$\theta = \arcsin(0.6) \approx 0.6435 \text{ راديان} \approx 36.87°$$ هذا هو المثلث القائم الشهير ذو الأضلاع 3-4-5، حيث تبلغ الزاوية المقابلة للضلع الذي طوله 3 نحو 36.87°.
قيم الجيب العكسي الشائعة
تأخذ دالة الجيب العكسي نسبة بين \(-1\) و \(1\) (الضلع المقابل مقسوماً على الوتر) وتُرجع الزاوية التي يساوي جيبها تلك النسبة. لأن الوتر هو دائماً أطول ضلع في المثلث القائم، فإن النسبة \(\frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}\) لأي زاوية حقيقية لا تتجاوز 1. الجدول أدناه يُدرج نسب الجيب التي نواجهها بشكل متكرر بجانب الزاوية المقابلة بالدرجات والراديان.
| نسبة الجيب (المقابل ÷ الوتر) | الزاوية (درجات) | الزاوية (راديان) |
|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 |
| 0.5 | 30° | \(\pi/6 \approx 0.5236\) |
| 0.6 | 36.87° | \(\approx 0.6435\) |
| 0.707 (≈ \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)) | 45° | \(\pi/4 \approx 0.7854\) |
| 0.866 (≈ \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)) | 60° | \(\pi/3 \approx 1.0472\) |
| 1 | 90° | \(\pi/2 \approx 1.5708\) |
لتحويل أي من هذه الزوايا بين الدرجات والراديان، اضرب الدرجات في \(\pi/180\). على سبيل المثال، \(30° \times \pi/180 = \pi/6 \approx 0.5236\) راديان.
المصطلحات الأساسية
- الجيب العكسي (sin⁻¹, asin)
- معكوس دالة الجيب. بحيث تُعطى نسبة \(x\)، يُرجع الجيب العكسي الزاوية \(\theta\) بحيث \(\sin\theta = x\). يُكتب \(\arcsin(x)\)، \(\sin^{-1}(x)\)، أو \(\operatorname{asin}(x)\). لاحظ أن \(\sin^{-1}(x)\) تعني الدالة العكسية، وليس \(1/\sin(x)\).
- الضلع المقابل
- في المثلث القائم، الضلع الذي يقابل الزاوية المهتم بها مباشرة. إنه أحد المدخلات الاثنين لهذه الحاسبة ويشكل بسط نسبة الجيب.
- الوتر
- أطول ضلع في المثلث القائم، يقع مقابل الزاوية القائمة. يعمل كمقام نسبة الجيب وهو دائماً أكبر من أو يساوي الضلع المقابل.
- الجيب
- نسبة مثلثية معرّفة كطول الضلع المقابل مقسوماً على الوتر: \(\sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}\). الجيب العكسي يعكس هذه العلاقة.
- الراديان
- وحدة لقياس الزوايا تُستند إلى نصف قطر الدائرة. دورة واحدة كاملة تساوي \(2\pi\) راديان (حوالي 6.2832)، و \(180° = \pi\) راديان. الراديان هو الوحدة القياسية في التفاضل والتكامل ومعظم لغات البرمجة.
- الدرجة
- وحدة لقياس الزوايا حيث تساوي دورة واحدة كاملة 360°. الزاوية القائمة تساوي 90°. الدرجات شائعة في الهندسة اليومية والملاحة والمساحة.
- مجال ومدى الجيب العكسي
- المجال (المدخلات المسموحة) للجيب العكسي هو \([-1, 1]\)؛ النسب خارج هذا النطاق لا تملك زاوية ذات قيمة حقيقية. المدى (المخرجات المحتملة) هو \([-90°, 90°]\)، أو \([-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]\) راديان، وهو فرع القيمة الرئيسية الذي تُرجعه الحاسبات.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تبقى النسبة بين −1 و1؟ لأن جيب أي زاوية لا يتجاوز \(1\) ولا ينخفض دون \(-1\)، لذا فإن دالته العكسية لا تقبل سوى القيم الواقعة في هذا المجال.
هل يمكن أن يكون الوتر أقصر من الضلع المقابل؟ لا يحدث ذلك في مثلث قائم الزاوية حقيقي، فالوتر هو دائمًا الضلع الأطول. وإذا أدخلت قيمًا كهذه فإن النسبة تُقيَّد عند \(\pm 1\).
كيف أنتقل بين الدرجات والراديان؟ تظهر القيمتان تلقائيًا؛ فالدرجات هي القيمة الرئيسية البارزة، بينما يظهر الراديان في جدول التفاصيل.
