ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بالحل العددي لمعادلة تفاضلية اعتيادية من الرتبة الثانية مكتوبة على الصورة \(y'' = F(x, y, y')\) ضمن المجال [x0, xn]، وذلك باستخدام طريقة رونغ-كوتا من الرتبة الثانية (أسلوب نقطة المنتصف، المعروف أيضًا بطريقة أويلر المعدّلة RK2). تُدخل الطرف الأيمن F كعبارة رياضية بدلالة x وy وp (حيث يرمز p إلى y')، إضافةً إلى القيمتين الابتدائيتين \(y(x_0)\) وy'(x0)، وطرفي المجال، وعدد الخطوات. والناتج جدول يضم قيم (x, y, y') على امتداد المجال. هذه عملية تحليل عددي بحت، لذا فهي تنطبق تمامًا في أي مكان ودون ارتباط بأي بلد أو نظام معيّن.
كيفية الاستخدام
اكتب دالة القوة F بدلالة x وy وp، فمثلًا تكتب -4*p-4*y للمعادلة \(y'' = -4y' - 4y\). والأداة تدعم العمليات + - * / ^ (أو **)، والدوال sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, pow، إلى جانب الثابتين pi, e. حدّد قيمة x0، والقيمة الابتدائية y0 و y'0 = p0، ونقطة النهاية xn، ثم اختر عدد المجالات الجزئية n. كلما زاد عدد الخطوات صَغُر حجم الخطوة \(h = \dfrac{x_n - x_0}{n}\) وقلّ الخطأ (الخطأ الكلي من الرتبة \(O(h^2)\)).
شرح الصيغة
تُختزل المعادلة أولًا إلى نظام من الرتبة الأولى بوضع \(p = y'\)، فنحصل على
$$\begin{cases} y' = p \\ p' = F(x,y,p) \end{cases}$$تأخذ كل خطوة من خطوات RK2 عيّنة من الميل عند البداية وأخرى عند نقطة المنتصف ثم تجمع بينهما: \(j_1 = h\cdot F(x,y,p)\)، \(k_1 = h\cdot p\)، ثم تُحسب j2 وk2 عند نقطة المنتصف وتُستخدمان للتقدّم بقيمتي p وy. أما خطأ القطع الموضعي فهو من الرتبة \(O(h^3)\) في كل خطوة.
مثال محلول
عند F = -4*p-4*y، و \(x_0 = 0\)، و \(y_0 = 0\)، و \(p_0 = 1\)، و \(x_n = 1\)، و \(n = 50\)، يكون حجم الخطوة \(h = 0.02\). تعطي الخطوة الأولى \(y_1 = 0.0192\) و \(p_1 = 0.9224\). وبتكرار العملية حتى \(x = 1\) نحصل على \(y(1) \approx 0.13533\) و \(y'(1) \approx -0.13533\)، وهو ما يطابق الحل التحليلي الدقيق \(y = x\cdot e^{-2x}\) الذي تساوي قيمته عند \(x = 1\) المقدار \(e^{-2} = 0.135335\).
الأسئلة الشائعة
هل هذه طريقة RK2 أم RK4؟ هذه طريقة رونغ-كوتا من الرتبة الثانية (قاعدة نقطة المنتصف)، وليست الطريقة الكلاسيكية من الرتبة الرابعة، لذا فدقتها الكلية من الرتبة الثانية فقط.
هل يمكن أن تكون xn أصغر من x0؟ نعم. في هذه الحالة يصبح حجم الخطوة سالبًا ويتقدم التكامل في الاتجاه العكسي، وهو أمر صحيح رياضيًا.
لماذا ظهر لي صف خطأ؟ تؤدي مشكلات الحساب — مثل القسمة على صفر، أو لوغاريتم عدد غير موجب، أو جذر تربيعي لعدد سالب داخل F — إلى إيقاف التكامل والإبلاغ عن موضع الخطأ.
