Qu'est-ce que l'équation de Bernoulli ?
L'équation de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie dans un fluide en mouvement. Pour un écoulement permanent, incompressible et sans frottement (fluide parfait) le long d'une ligne de courant, la somme de la pression statique, de la pression dynamique (\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\)) et de la pression hydrostatique (\(\rho g h\)) reste constante. Ce calculateur s'appuie sur ce principe pour déterminer la pression statique \(P_2\) en un second point lorsque les conditions au premier point sont connues.
Comment utiliser le calculateur
Indiquez la masse volumique du fluide \(\rho\) (1000 kg/m³ pour l'eau, environ 1,225 kg/m³ pour l'air) et l'accélération de la pesanteur \(g\) (9,81 m/s²). Renseignez ensuite la pression, la vitesse et la hauteur au Point 1, puis la vitesse et la hauteur au Point 2. L'outil affiche \(P_2\) en pascals, accompagné du détail de chaque terme d'énergie.
La formule expliquée
En partant de \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\), on isole \(P_2\) :
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
Lorsque le fluide accélère (\(v_2 > v_1\)), le terme dynamique augmente et la pression statique \(P_2\) diminue : c'est le principe à l'origine de la portance, des carburateurs et des tubes de Venturi.
Exemple résolu
De l'eau (\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)) s'écoule à \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) avec \(P_1 = 101325\ \text{Pa}\) à \(h_1 = 0\). En aval, elle accélère jusqu'à \(v_2 = 5\ \text{m/s}\) à la même hauteur. On obtient alors $$P_2 = 101325 + 0{,}5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Pa}}.$$ La pression chute parce que l'énergie cinétique a augmenté.
Constantes et valeurs de référence
L'équation de Bernoulli nécessite une valeur pour l'accélération due à la gravité et la densité du fluide. Utilisez les valeurs ci-dessous comme points de départ, et travaillez toujours avec des unités SI cohérentes (pression en pascals, densité en kg/m³, vitesse en m/s, hauteur en mètres).
| Grandeur | Symbole | Valeur | Unités |
|---|---|---|---|
| Accélération gravitationnelle standard | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Eau douce (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Eau de mer | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| Air (au niveau de la mer, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| Huile légère/de lubrification | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
Remarque sur l'incompressibilité : L'équation classique de Bernoulli suppose une densité constante. Pour les gaz, cela n'est valide qu'à faible vitesse — généralement en dessous d'un nombre de Mach d'environ 0,3 (environ 100 m/s dans l'air au niveau de la mer). Au-delà de ce seuil, les effets de compressibilité deviennent significatifs et un bilan énergétique pour écoulement compressible devrait être utilisé à la place.
Définitions et glossaire
- \(P_1\), \(P_2\) — pression statique aux points amont et aval (Pa). C'est la pression qu'un capteur se déplaçant avec le fluide lirait, indépendamment du mouvement.
- \(v\) — vitesse de l'écoulement du fluide le long d'une ligne de courant (m/s). \(v_1\) et \(v_2\) sont les vitesses aux deux points.
- \(h\) — charge d'élévation, la hauteur verticale du point au-dessus d'une référence arbitraire (m).
- \(\rho\) — densité, la masse par unité de volume du fluide (kg/m³), supposée constante pour un écoulement incompressible.
- \(g\) — accélération gravitationnelle (m/s²), généralement 9.81.
- Pression statique : la pression thermodynamique du fluide (Pa), les termes \(P\) dans l'équation.
- Pression dynamique : le terme d'énergie cinétique par unité de volume, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — l'augmentation de pression quand l'écoulement est amené au repos.
- Pression hydrostatique : le terme d'élévation par unité de volume, \(\rho g h\) (Pa) — pression due au poids de la colonne de fluide / différence de hauteur.
- Ligne de courant : une courbe partout tangente à la vitesse locale ; l'équation de Bernoulli s'applique le long d'une seule ligne de courant.
- Écoulement inviscide : écoulement idéalisé sans viscosité, donc aucune énergie n'est perdue par frottement.
- Écoulement stationnaire : écoulement dont les propriétés à tout point fixe ne changent pas avec le temps.
Plus d'exemples résolus
Exemple 1 — Changement d'élévation, vitesse constante
L'eau (\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)) s'écoule à travers un tuyau uniforme donc la vitesse est inchangée (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)). L'entrée est à \(h_1 = 10\,\text{m}\) avec \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\) ; la sortie descend à \(h_2 = 4\,\text{m}\). Trouver \(P_2\).
- Terme de vitesse : \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\).
- Terme d'élévation : \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\).
- Ajouter à \(P_1\) : \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- Résultat : \(P_2 = \) 208860 Pa.
La pression augmente en aval car le fluide descend de 6 m, convertissant la charge d'élévation en pression. Le gain de 58860 Pa correspond à la pression hydrostatique d'une colonne d'eau de 6 m.
Exemple 2 — Air à travers un Venturi (la vitesse augmente)
L'air (\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)) s'écoule horizontalement (\(h_1 = h_2 = 0\)) à travers un Venturi. À l'entrée large \(v_1 = 20\,\text{m/s}\) et \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\) ; à la gorge \(v_2 = 60\,\text{m/s}\). Trouver \(P_2\).
- Terme de vitesse : \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\).
- Terme d'élévation : \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (horizontal).
- Ajouter à \(P_1\) : \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- Résultat : \(P_2 = \) 99365 Pa.
À mesure que l'air s'accélère dans la gorge, sa pression statique diminue de 1960 Pa — l'effet Venturi. Cette baisse est égale à l'augmentation de pression dynamique, car pour les deux vitesses nous avons vérifié que la vitesse (Mach ≈ 0,18) reste bien en dessous de la limite d'incompressibilité Mach 0,3, donc traiter l'air comme ayant une densité constante est valide ici.
Questions fréquentes
Cela fonctionne-t-il pour un écoulement compressible ? Non. L'équation de Bernoulli suppose une masse volumique constante : elle reste donc précise pour les liquides et les écoulements gazeux à faible vitesse (Mach < 0,3).
Et les frottements et la viscosité ? L'équation idéale ignore les pertes. Pour des conduites réelles, il faut ajouter des termes de pertes de charge.
Peut-on calculer une vitesse à la place ? Cette version résout \(P_2\), mais vous pouvez réorganiser la même équation pour trouver une vitesse ou une hauteur inconnue.
