Phương trình Bernoulli là gì?
Phương trình Bernoulli mô tả sự bảo toàn năng lượng trong một dòng chất lỏng chuyển động. Đối với dòng chảy ổn định, không nén được và không có ma sát (lý tưởng) dọc theo một đường dòng, tổng của áp suất tĩnh, áp suất động (\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)) và áp suất thủy tĩnh (\(\rho g h\)) luôn không đổi. Công cụ này áp dụng nguyên lý đó để tìm áp suất tĩnh \(P_2\) tại điểm thứ hai khi đã biết các điều kiện tại điểm thứ nhất.
Cách sử dụng máy tính
Nhập khối lượng riêng của chất lỏng \(\rho\) (1000 kg/m³ với nước, khoảng 1,225 kg/m³ với không khí) và gia tốc trọng trường \(g\) (9,81 m/s²). Khai báo áp suất, vận tốc và độ cao tại Điểm 1, sau đó là vận tốc và độ cao tại Điểm 2. Công cụ sẽ trả về \(P_2\) tính bằng pascal cùng với chi tiết từng thành phần năng lượng.
Giải thích công thức
Bắt đầu từ phương trình $$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$ ta biến đổi để tách riêng \(P_2\):
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
Khi chất lỏng tăng tốc (\(v_2 > v_1\)), thành phần động tăng lên còn áp suất tĩnh \(P_2\) giảm xuống — đây chính là nguyên lý của lực nâng cánh máy bay, bộ chế hòa khí và ống Venturi.
Ví dụ minh họa
Nước (\(\rho = 1000\) kg/m³) chảy với vận tốc \(v_1 = 2\) m/s, áp suất \(P_1 = 101325\) Pa tại độ cao \(h_1 = 0\). Ở hạ lưu, dòng nước tăng tốc lên \(v_2 = 5\) m/s tại cùng độ cao. Khi đó $$P_2 = 101325 + 0{,}5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825}\ \textbf{Pa}.$$ Áp suất giảm vì động năng đã tăng lên.
Hằng số & Giá trị tham khảo
Phương trình Bernoulli đòi hỏi một giá trị cho gia tốc trọng trường và mật độ chất lỏng. Sử dụng các giá trị dưới đây làm điểm xuất phát, và luôn làm việc trong các đơn vị SI nhất quán (áp suất tính bằng pascan, mật độ tính bằng kg/m³, vận tốc tính bằng m/s, chiều cao tính bằng mét).
| Đại lượng | Ký hiệu | Giá trị | Đơn vị |
|---|---|---|---|
| Gia tốc trọng trường tiêu chuẩn | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Nước ngọt (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Nước biển | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| Không khí (mực nước biển, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| Dầu nhẹ/bôi trơn | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
Ghi chú về tính không nén được: Phương trình Bernoulli cổ điển giả sử mật độ không đổi. Đối với khí, điều này chỉ áp dụng tốt ở tốc độ thấp — thường là dưới số Mach khoảng 0,3 (khoảng 100 m/s ở không khí mực nước biển). Trên ngưỡng đó, các ảnh hưởng của tính nén được trở nên đáng kể và nên sử dụng cân bằng năng lượng luồng nén được thay thế.
Định nghĩa & Thuật ngữ
- \(P_1\), \(P_2\) — áp suất tĩnh tại các điểm thượng lưu và hạ lưu (Pa). Đây là áp suất mà cảm biến chuyển động cùng với chất lỏng sẽ đọc được, không phụ thuộc vào chuyển động.
- \(v\) — vận tốc dòng chảy của chất lỏng dọc theo một dòng dòng (m/s). \(v_1\) và \(v_2\) là vận tốc tại hai điểm.
- \(h\) — độ cao dòng chảy, chiều cao theo phương thẳng đứng của điểm so với một mốc tùy ý (m).
- \(\rho\) — mật độ, khối lượng trên một đơn vị thể tích của chất lỏng (kg/m³), giả sử không đổi cho dòng chảy không nén được.
- \(g\) — gia tốc trọng trường (m/s²), thường là 9.81.
- Áp suất tĩnh: áp suất nhiệt động lực học của chất lỏng (Pa), các số hạng \(P\) trong phương trình.
- Áp suất động: số hạng năng lượng động học trên một đơn vị thể tích, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — mức tăng áp suất khi dòng chảy bị đưa đến trạng thái đứng yên.
- Áp suất tĩnh áp: số hạng độ cao trên một đơn vị thể tích, \(\rho g h\) (Pa) — áp suất do trọng lượng của cột chất lỏng / hiệu độ cao.
- Dòng dòng: một đường cong tiếp tuyến ở mọi nơi với vận tốc cục bộ; phương trình Bernoulli áp dụng dọc theo một dòng dòng duy nhất.
- Dòng không nhớt: dòng lý tưởng hóa không có độ nhớt, do đó không có năng lượng bị mất do ma sát.
- Dòng ổn định: dòng có các tính chất tại bất kỳ điểm cố định nào không thay đổi theo thời gian.
Thêm ví dụ được giải
Ví dụ 1 — Thay đổi độ cao, vận tốc không đổi
Nước (\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)) chảy qua một ống đồng nhất nên vận tốc không thay đổi (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)). Lối vào ở \(h_1 = 10\,\text{m}\) với \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\); lối ra hạ xuống \(h_2 = 4\,\text{m}\). Tìm \(P_2\).
- Số hạng vận tốc: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\).
- Số hạng độ cao: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\).
- Thêm vào \(P_1\): \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- Kết quả: \(P_2 = \) 208860 Pa.
Áp suất tăng hạ lưu vì chất lỏng hạ xuống 6 m, chuyển đổi độ cao dòng chảy thành áp suất. Mức tăng 58860 Pa phù hợp với áp suất tĩnh áp của cột nước cao 6 m.
Ví dụ 2 — Không khí qua Venturi (vận tốc tăng)
Không khí (\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)) chảy theo phương ngang (\(h_1 = h_2 = 0\)) qua một Venturi. Ở lối vào rộng \(v_1 = 20\,\text{m/s}\) và \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\); ở cổ họng \(v_2 = 60\,\text{m/s}\). Tìm \(P_2\).
- Số hạng vận tốc: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\).
- Số hạng độ cao: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (phương ngang).
- Thêm vào \(P_1\): \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- Kết quả: \(P_2 = \) 99365 Pa.
Khi không khí tăng tốc ở cổ họng, áp suất tĩnh của nó giảm 1960 Pa — hiệu ứng Venturi. Sự giảm đó bằng với mức tăng của áp suất động, vì đối với cả hai tốc độ chúng tôi đã kiểm tra rằng vận tốc (Mach ≈ 0,18) vẫn còn dưới giới hạn tính không nén được Mach 0,3, do đó coi không khí có mật độ không đổi là hợp lệ ở đây.
Câu hỏi thường gặp
Công cụ này có dùng được cho dòng chảy nén được không? Không. Phương trình Bernoulli giả định khối lượng riêng không đổi, nên chỉ chính xác với chất lỏng và dòng khí tốc độ thấp (Mach < 0,3).
Còn ma sát và độ nhớt thì sao? Phương trình lý tưởng bỏ qua các tổn thất. Với đường ống thực tế, bạn cần bổ sung các thành phần tổn thất cột áp (head loss).
Có thể tính vận tốc thay vì áp suất không? Phiên bản này giải tìm \(P_2\), nhưng bạn hoàn toàn có thể biến đổi cùng phương trình đó để tìm vận tốc hoặc độ cao chưa biết.
