什么是伯努利方程？
伯努利方程描述的是运动流体中的能量守恒。对于沿同一流线的稳定、不可压缩、无黏（理想）流动，静压、动压（\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\)）和重力压强（\(\rho g h\)）三者之和保持恒定。本计算器正是基于这一原理：在已知第一点流动条件的情况下，求出第二点处的静压 \(P_2\)。
如何使用本计算器
首先输入流体密度 \(\rho\)（水约为 1000 kg/m³，空气约为 1.225 kg/m³）和重力加速度 \(g\)（9.81 m/s²）。接着填入点 1 处的压强、流速和高度，再填入点 2 处的流速和高度。计算器将以帕斯卡（Pa）为单位给出 \(P_2\)，并列出各项能量分量的明细。
公式解析
从 \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\) 出发，将 \(P_2\) 单独移项可得：
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$当流体加速（\(v_2 > v_1\)）时，动压项增大，静压 \(P_2\) 随之下降——这正是机翼升力、化油器以及文丘里流量计的工作原理。
计算示例
水（\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)）以 \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) 的速度流动，此处 \(P_1 = 101325\ \text{Pa}\)，高度 \(h_1 = 0\)。在下游同一高度处流速加快到 \(v_2 = 5\ \text{m/s}\)。于是 $$P_2 = 101325 + 0.5 \cdot 1000 \cdot (4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Pa}}$$ 由于动能增大，压强随之下降。
常数与参考值
伯努利方程需要重力加速度和流体密度的数值。使用下面的值作为起点，并始终使用一致的国际单位制（压力单位为帕斯卡、密度单位为kg/m³、速度单位为m/s、高度单位为米）。
| 物理量 | 符号 | 数值 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 标准重力加速度 | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| 淡水（约4 °C） | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| 海水 | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| 空气（海平面，15 °C） | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| 轻油/润滑油 | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
不可压缩性注释：经典伯努利方程假设密度恒定。对于气体，这仅在低速时成立——通常低于约0.3马赫数（粗略为海平面空气中的100 m/s）。超过该阈值，可压缩性效应变得显著，应改为使用可压缩流能量平衡方程。
定义与术语表
- \(P_1\)、\(P_2\) — 静压在上游和下游点处的静压（Pa）。这是与流体一起运动的传感器所读取的压力，与运动无关。
- \(v\) — 流速沿流线的流体速度（m/s）。\(v_1\)和\(v_2\)是两点处的速度。
- \(h\) — 位能高度，该点相对于任意基准线的竖直高度（m）。
- \(\rho\) — 密度，流体单位体积的质量（kg/m³），对于不可压缩流假设为常数。
- \(g\) — 重力加速度（m/s²），通常为9.81。
- 静压：流体的热力学压力（Pa），方程中的\(P\)项。
- 动压：单位体积的动能项，\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)（Pa）——当流动停止时的压力上升。
- 静水压力：单位体积的位能项，\(\rho g h\)（Pa）——由流体柱重量/高度差引起的压力。
- 流线：处处与局部速度相切的曲线；伯努利方程沿单一流线应用。
- 无粘流：理想化的无粘性流动，因此没有能量因摩擦而损失。
- 稳定流：在任何固定点处其性质不随时间变化的流动。
更多详细示例
示例1 — 高度变化，速度恒定
水（\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)）流经均匀管道，因此速度不变（\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)）。入口在\(h_1 = 10\,\text{m}\)处，\(P_1 = 150000\,\text{Pa}\)；出口降至\(h_2 = 4\,\text{m}\)。求\(P_2\)。
- 速度项：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\)。
- 高度项：\(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\)。
- 加上\(P_1\)：\(P_2 = 150000 + 0 + 58860\)。
- 结果：\(P_2 = \) 208860 Pa。
压力在下游增加，因为流体下降6 m，将位能高度转换为压力。58860 Pa的增量与6 m水柱的静水压力相匹配。
示例2 — 空气通过文丘里（速度增加）
空气（\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)）水平流动（\(h_1 = h_2 = 0\)）通过文丘里。在宽入口处\(v_1 = 20\,\text{m/s}\)，\(P_1 = 101325\,\text{Pa}\)；在喉部\(v_2 = 60\,\text{m/s}\)。求\(P_2\)。
- 速度项：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\)。
- 高度项：\(\rho g(h_1 - h_2) = 0\)（水平）。
- 加上\(P_1\)：\(P_2 = 101325 - 1960 + 0\)。
- 结果：\(P_2 = \) 99365 Pa。
当空气在喉部加速时，其静压下降1960 Pa——即文丘里效应。该压力下降等于动压增加，因为对于两种速度我们都已验证速度（马赫数≈ 0.18）远低于0.3马赫数不可压缩性限制，因此在这里将空气视为恒密度是有效的。
常见问题
它适用于可压缩流动吗？不适用。伯努利方程假设密度恒定，因此只对液体以及低速气流（马赫数 < 0.3）准确。
摩擦和黏性如何处理？理想方程忽略了能量损失。对于实际管道，你需要额外加入水头损失项。
能反过来求流速吗？本版本求解的是 \(P_2\)，但你可以对同一方程进行变形，求解未知的流速或高度。
