什麼是伯努利方程式？
伯努利方程式描述了流動流體的能量守恆原理。對於穩定、不可壓縮且無摩擦（無黏性）的沿流線流動而言，靜壓、動壓（\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\)）與位壓（\(\rho g h\)）三者之和維持為定值。本計算機正是運用這項原理，在已知第一點的條件下，求出第二點的靜壓 \(P_2\)。
如何使用本計算機
請先輸入流體密度 \(\rho\)（水為 1000 kg/m³，空氣約為 1.225 kg/m³）與重力加速度 \(g\)（9.81 m/s²）。接著填入第一點（Point 1）的壓力、流速與高度，再填入第二點（Point 2）的流速與高度。計算機會以帕斯卡（Pa）為單位輸出 \(P_2\)，並列出各項能量的分解結果。
公式解析
由 \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\) 出發，將 \(P_2\) 移項並單獨求解，可得：
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
當流體加速（\(v_2 > v_1\)）時，動壓項隨之增大，靜壓 \(P_2\) 便會下降——這正是升力、化油器與文氏管（Venturi）流量計的運作原理。
實例演算
水（\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)）以 \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) 的速度流動，在 \(h_1 = 0\) 處壓力為 \(P_1 = 101325\ \text{Pa}\)。下游處在相同高度下加速至 \(v_2 = 5\ \text{m/s}\)。則 $$P_2 = 101325 + 0.5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Pa}}$$。由於動能增加，壓力隨之下降。
常數和參考值
伯努利方程需要重力加速度值和流體密度值。使用以下值作為起點，並始終使用一致的國際單位制（壓力以帕斯卡、密度以kg/m³、速度以m/s、高度以公尺）。
| 物理量 | 符號 | 值 | 單位 |
|---|---|---|---|
| 標準重力加速度 | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| 淡水（~4°C） | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| 海水 | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| 空氣（海平面，15°C） | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| 輕油/潤滑油 | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
不可壓縮性注意：經典伯努利方程假設密度恆定。對於氣體，這只在低速時成立——通常在馬赫數約0.3以下（大約海平面空氣中的100 m/s）。超過該閾值，可壓縮性效應變得顯著，應使用可壓縮流能量平衡代替。
定義和術語表
- \(P_1\)、\(P_2\) — 靜壓在上游和下游點處的靜壓（Pa）。這是隨流體運動的感測器所讀取的壓力，與運動無關。
- \(v\) — 流速沿著流線的流體速度（m/s）。\(v_1\)和\(v_2\)是兩個點處的速度。
- \(h\) — 位能水頭，點相對於任意基準面的垂直高度（m）。
- \(\rho\) — 密度，流體單位體積的質量（kg/m³），不可壓縮流中假設恆定。
- \(g\) — 重力加速度（m/s²），通常為9.81。
- 靜壓：流體的熱力學壓力（Pa），方程中的\(P\)項。
- 動壓：單位體積的動能項，\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)（Pa）——當流動停滯時的壓力上升。
- 靜水壓：單位體積的位能項，\(\rho g h\)（Pa）——由流體柱的重量/高度差引起的壓力。
- 流線：處處與當地速度相切的曲線；伯努利方程沿單一流線應用。
- 無黏流：理想化流動，無黏性，因此不損失能量於摩擦。
- 穩定流：其性質在任何固定點不隨時間改變的流動。
更多工作示例
示例1——高度變化，速度恆定
水（\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)）流經均勻管道，所以速度不變（\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)）。進口在\(h_1 = 10\,\text{m}\)處，\(P_1 = 150000\,\text{Pa}\)；出口降至\(h_2 = 4\,\text{m}\)。求\(P_2\)。
- 速度項：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\)。
- 高度項：\(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\)。
- 加到\(P_1\)：\(P_2 = 150000 + 0 + 58860\)。
- 結果：\(P_2 = \) 208860 Pa。
由於流體下降6 m，將位能水頭轉換為壓力，所以下游壓力上升。58860 Pa的增益與6 m水柱的靜水壓相符。
示例2——空氣通過文丘里（速度增加）
空氣（\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)）水平流動（\(h_1 = h_2 = 0\)）通過文丘里。在寬進口處\(v_1 = 20\,\text{m/s}\)，\(P_1 = 101325\,\text{Pa}\)；在喉部\(v_2 = 60\,\text{m/s}\)。求\(P_2\)。
- 速度項：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\)。
- 高度項：\(\rho g(h_1 - h_2) = 0\)（水平）。
- 加到\(P_1\)：\(P_2 = 101325 - 1960 + 0\)。
- 結果：\(P_2 = \) 99365 Pa。
當空氣在喉部加速時，其靜壓下降1960 Pa——文丘里效應。該下降等於動壓的增加，因為對於兩種速度，我們已檢驗速度（馬赫數≈0.18）保持遠低於馬赫0.3的不可壓縮性限制，所以在此將空氣視為恆定密度是有效的。
常見問題
這適用於可壓縮流動嗎？不適用。伯努利方程式假設密度維持固定，因此只對液體與低速氣流（馬赫數 < 0.3）準確。
摩擦力與黏性該如何處理？理想方程式忽略了能量損失。對於實際管路，必須額外加入水頭損失（head loss）項。
可以反過來計算流速嗎？本版本求解的是 \(P_2\)，但你只要將同一條方程式重新移項，即可求出未知的流速或高度。
