ما هي معادلة برنولي؟
تصف معادلة برنولي مبدأ حفظ الطاقة في المائع المتحرك. ففي حالة التدفق المستقر وغير القابل للانضغاط والخالي من الاحتكاك (اللزوجة) على امتداد خط انسياب واحد، يبقى مجموع الضغط الساكن والضغط الديناميكي (\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)) والضغط الهيدروستاتيكي (\(\rho g h\)) ثابتًا. تعتمد هذه الحاسبة على هذا المبدأ لإيجاد الضغط الساكن \(P_2\) عند نقطة ثانية متى عُرفت الظروف عند النقطة الأولى.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل كثافة المائع \(\rho\) (1000 كجم/م³ للماء، ونحو 1.225 كجم/م³ للهواء) وتسارع الجاذبية \(g\) (9.81 م/ث²). ثم أدخل الضغط والسرعة والارتفاع عند النقطة 1، يليها السرعة والارتفاع عند النقطة 2. تعطيك الأداة قيمة \(P_2\) بوحدة الباسكال مع تفصيل كل حد من حدود الطاقة.
شرح المعادلة
انطلاقًا من العلاقة \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\)، نعيد ترتيب الحدود لعزل \(P_2\) كما يلي:
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$وعندما تزداد سرعة المائع (\(v_2 > v_1\))، يكبر الحد الديناميكي وينخفض الضغط الساكن \(P_2\) — وهذا هو الأساس الذي يفسّر قوة الرفع في الأجنحة، وعمل المكربنات، وعدّادات فنتوري.
مثال محلول
يتدفق الماء (\(\rho = 1000\) كجم/م³) بسرعة \(v_1 = 2\) م/ث وضغط \(P_1 = 101325\) باسكال عند ارتفاع \(h_1 = 0\). وفي اتجاه المصب يتسارع إلى \(v_2 = 5\) م/ث عند الارتفاع نفسه. فيكون $$P_2 = 101325 + 0.5\cdot1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825}\text{ باسكال}$$ ينخفض الضغط هنا لأن الطاقة الحركية قد ازدادت.
الثوابت والقيم المرجعية
تتطلب معادلة برنولي قيمة لتسارع الجاذبية وكثافة السائل. استخدم القيم أدناه كنقاط بداية، وتعامل دائماً مع وحدات SI متسقة (الضغط بوحدة باسكال، الكثافة بوحدة كجم/م³، السرعة بوحدة م/ث، الارتفاع بوحدة متر).
| الكمية | الرمز | القيمة | الوحدات |
|---|---|---|---|
| تسارع الجاذبية المعياري | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| المياه العذبة (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| مياه البحر | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| الهواء (مستوى سطح البحر، 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| الزيت الخفيف/التزليقي | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
ملاحظة عدم الانضغاطية: تفترض معادلة برنولي الكلاسيكية كثافة ثابتة. بالنسبة للغازات، يكون هذا صحيحاً فقط عند السرعات المنخفضة — عادة أقل من رقم ماخ حوالي 0.3 (تقريباً 100 م/ث في هواء مستوى سطح البحر). فوق هذا الحد، تصبح تأثيرات الانضغاطية كبيرة وينبغي استخدام توازن الطاقة للتدفق القابل للانضغاط بدلاً من ذلك.
التعريفات والمسرد
- \(P_1\), \(P_2\) — الضغط الساكن عند النقطتين السابقة واللاحقة (Pa). هذا هو الضغط الذي يقرأه حساس يتحرك مع السائل، بشكل مستقل عن الحركة.
- \(v\) — سرعة التدفق للسائل على طول خط تيار (م/ث). \(v_1\) و\(v_2\) هما السرعات عند النقطتين.
- \(h\) — رأس الارتفاع، الارتفاع الرأسي للنقطة فوق مرجع تعسفي (م).
- \(\rho\) — الكثافة، الكتلة لكل وحدة حجم من السائل (kg/m³)، مفترضة ثابتة للتدفق غير القابل للانضغاط.
- \(g\) — تسارع الجاذبية (m/s²)، عادة 9.81.
- الضغط الساكن: الضغط الديناميكي للسائل (Pa)، الحدود \(P\) في المعادلة.
- الضغط الديناميكي: حد الطاقة الحركية لكل وحدة حجم، \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — ارتفاع الضغط عندما يتم إيقاف التدفق.
- الضغط الهيدروستاتيكي: حد الارتفاع لكل وحدة حجم، \(\rho g h\) (Pa) — الضغط الناتج عن وزن عمود السائل / فرق الارتفاع.
- خط التيار: منحنى يكون في كل مكان مماساً للسرعة المحلية؛ تنطبق معادلة برنولي على طول خط تيار واحد.
- التدفق غير اللزج: التدفق المثالي بدون لزوجة، بحيث لا تُفقد الطاقة بسبب الاحتكاك.
- التدفق المستقر: التدفق الذي لا تتغير خصائصه عند أي نقطة ثابتة مع الزمن.
أمثلة عملية إضافية
المثال 1 — تغيير الارتفاع، سرعة ثابتة
تتدفق المياه (\(\rho = 1000\,\text{كجم/م}^3\)) عبر أنبوب موحد بحيث تظل السرعة دون تغيير (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{م/ث}\)). المدخل عند \(h_1 = 10\,\text{م}\) مع \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\)؛ المخرج ينخفض إلى \(h_2 = 4\,\text{م}\). أوجد \(P_2\).
- حد السرعة: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\).
- حد الارتفاع: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\).
- أضف إلى \(P_1\): \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- النتيجة: \(P_2 = \) 208860 Pa.
يرتفع الضغط في المصب لأن السائل ينخفض 6 م، مما يحول رأس الارتفاع إلى ضغط. يطابق الكسب بمقدار 58860 Pa الضغط الهيدروستاتيكي لعمود ماء بارتفاع 6 م.
المثال 2 — الهواء عبر فنتوري (تزداد السرعة)
يتدفق الهواء (\(\rho = 1.225\,\text{كجم/م}^3\)) أفقياً (\(h_1 = h_2 = 0\)) عبر فنتوري. عند المدخل الواسع \(v_1 = 20\,\text{م/ث}\) و\(P_1 = 101325\,\text{Pa}\)؛ عند الحلق \(v_2 = 60\,\text{م/ث}\). أوجد \(P_2\).
- حد السرعة: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\).
- حد الارتفاع: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (أفقي).
- أضف إلى \(P_1\): \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- النتيجة: \(P_2 = \) 99365 Pa.
عندما يتسارع الهواء في الحلق، ينخفض ضغطه الساكن بمقدار 1960 Pa — تأثير فنتوري. ينطابق هذا الانخفاض مع الزيادة في الضغط الديناميكي، حيث أن بالنسبة لكلا السرعتين تحققنا من أن السرعة (ماخ ≈ 0.18) تظل أقل بكثير من حد عدم الانضغاطية عند ماخ 0.3، لذا يكون التعامل مع الهواء كثابت الكثافة صحيحاً هنا.
الأسئلة الشائعة
هل تصلح المعادلة للتدفق القابل للانضغاط؟ لا. تفترض معادلة برنولي ثبات الكثافة، لذا فهي دقيقة مع السوائل ومع تدفق الغازات بطيئة السرعة (عدد ماخ أقل من 0.3).
ماذا عن الاحتكاك واللزوجة؟ تتجاهل المعادلة المثالية أي فواقد. أما في الأنابيب الحقيقية فعليك إضافة حدود فقد الضاغط (head loss).
هل يمكنها حساب السرعة بدلًا من الضغط؟ هذه النسخة تحلّ لإيجاد \(P_2\)، لكن يمكنك إعادة ترتيب المعادلة نفسها لإيجاد سرعة أو ارتفاع مجهول.
