बर्नूली समीकरण क्या है?
बर्नूली का समीकरण किसी बहते हुए द्रव में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को दर्शाता है। किसी स्ट्रीमलाइन के साथ स्थिर (steady), असंपीड्य (incompressible) और घर्षणरहित (inviscid) प्रवाह में स्थैतिक दबाव, गतिज दबाव (\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\)) और हाइड्रोस्टैटिक दबाव (\(\rho g h\)) का योग स्थिर रहता है। यह कैलकुलेटर इसी सिद्धांत का उपयोग करके पहले बिंदु की ज्ञात स्थितियों से दूसरे बिंदु पर स्थैतिक दबाव \(P_2\) निकालता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
द्रव का घनत्व \(\rho\) डालें (पानी के लिए 1000 kg/m³ और हवा के लिए लगभग 1.225 kg/m³) और गुरुत्वीय त्वरण \(g\) (9.81 m/s²) डालें। फिर बिंदु 1 पर दबाव, वेग और ऊँचाई भरें, और इसके बाद बिंदु 2 पर वेग और ऊँचाई दें। यह टूल पास्कल में \(P_2\) का मान बताता है, साथ ही हर ऊर्जा पद का विस्तृत विभाजन भी दिखाता है।
सूत्र को समझें
\(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\) से शुरू करते हुए, हम \(P_2\) को अलग करने के लिए समीकरण को इस तरह व्यवस्थित करते हैं:
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
जब द्रव की गति बढ़ती है (\(v_2 > v_1\)), तो गतिज पद बढ़ जाता है और स्थैतिक दबाव \(P_2\) घट जाता है — यही उत्थापन (lift), कार्बोरेटर और वेंचुरी मीटर के काम करने का आधार है।
हल किया हुआ उदाहरण
पानी (\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)) \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) की गति से बहता है, जहाँ \(P_1 = 101325\ \text{Pa}\) और \(h_1 = 0\) है। आगे चलकर यह उसी ऊँचाई पर \(v_2 = 5\ \text{m/s}\) तक तेज़ हो जाता है। तब $$P_2 = 101325 + 0.5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \textbf{Pa}}$$। चूँकि गतिज ऊर्जा बढ़ी है, इसलिए दबाव घट जाता है।
स्थिरांक और संदर्भ मान
बर्नौली समीकरण के लिए गुरुत्वाकर्षण त्वरण और तरल घनत्व का मान आवश्यक है। नीचे दिए गए मानों को शुरुआती बिंदु के रूप में उपयोग करें, और सदैव सुसंगत SI इकाइयों में काम करें (दबाव पास्कल में, घनत्व kg/m³ में, वेग m/s में, ऊँचाई मीटर में)।
| राशि | प्रतीक | मान | इकाई |
|---|---|---|---|
| मानक गुरुत्वाकर्षण त्वरण | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| ताज़ा जल (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| समुद्री जल | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| वायु (समुद्र तल पर, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| हल्का/स्नेहन तेल | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
संपीड़नशीलता नोट: मौलिक बर्नौली समीकरण स्थिर घनत्व मानता है। गैसों के लिए यह केवल कम गति पर अच्छी तरह कार्य करता है — आमतौर पर लगभग 0.3 की मैच संख्या से नीचे (समुद्र तल की वायु में लगभग 100 m/s)। उस सीमा से ऊपर संपीड़नशीलता प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाते हैं और इसके बजाय एक संपीड़नशील-प्रवाह ऊर्जा संतुलन का उपयोग किया जाना चाहिए।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- \(P_1\), \(P_2\) — स्थैतिक दबाव अपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम बिंदुओं पर (Pa)। यह वह दबाव है जो तरल के साथ गतिमान सेंसर पढ़ेगा, गति से स्वतंत्र।
- \(v\) — प्रवाह वेग एक स्ट्रीमलाइन के साथ तरल का (m/s)। \(v_1\) और \(v_2\) दोनों बिंदुओं पर वेग हैं।
- \(h\) — उन्नयन शीर्ष, एक मनमाना डेटम के ऊपर बिंदु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई (m)।
- \(\rho\) — घनत्व, तरल का प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान (kg/m³), असंपीड़्य प्रवाह के लिए स्थिर माना जाता है।
- \(g\) — गुरुत्वाकर्षण त्वरण (m/s²), आमतौर पर 9.81।
- स्थैतिक दबाव: तरल का थर्मोडायनामिक दबाव (Pa), समीकरण में \(P\) पद।
- गतिशील दबाव: प्रति इकाई आयतन गतिज-ऊर्जा पद, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — वह दबाव वृद्धि जब प्रवाह को विश्राम पर लाया जाता है।
- हाइड्रोस्टैटिक दबाव: प्रति इकाई आयतन उन्नयन पद, \(\rho g h\) (Pa) — तरल स्तंभ के वजन से दबाव / ऊँचाई अंतर।
- स्ट्रीमलाइन: एक वक्र जो स्थानीय वेग के सर्वत्र स्पर्शरेखा है; बर्नौली का समीकरण एकल स्ट्रीमलाइन के साथ लागू होता है।
- अश्यान रहित प्रवाह: आदर्शीकृत प्रवाह जिसमें कोई श्यानता नहीं है, इसलिए घर्षण के कारण कोई ऊर्जा खोई नहीं जाती।
- स्थिर प्रवाह: प्रवाह जिसके गुण किसी निश्चित बिंदु पर समय के साथ नहीं बदलते।
अधिक कार्य उदाहरण
उदाहरण 1 — उन्नयन परिवर्तन, स्थिर वेग
जल (\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)) एक समान पाइप के माध्यम से प्रवाहित होता है इसलिए वेग अपरिवर्तित है (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\))। प्रवेश द्वार \(h_1 = 10\,\text{m}\) पर \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\) पर है; निर्गम \(h_2 = 4\,\text{m}\) तक गिरता है। \(P_2\) खोजें।
- वेग पद: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\)।
- उन्नयन पद: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\)।
- \(P_1\) में जोड़ें: \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\)।
- परिणाम: \(P_2 = \) 208860 Pa।
दबाव डाउनस्ट्रीम बढ़ता है क्योंकि तरल 6 मीटर नीचे जाता है, उन्नयन शीर्ष को दबाव में परिवर्तित करता है। 58860 Pa की लाभ 6 मीटर जल स्तंभ के हाइड्रोस्टैटिक दबाव से मेल खाता है।
उदाहरण 2 — वेंचुरी के माध्यम से वायु (वेग बढ़ता है)
वायु (\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)) क्षैतिज रूप से (\(h_1 = h_2 = 0\)) एक वेंचुरी के माध्यम से प्रवाहित होती है। चौड़े प्रवेश द्वार पर \(v_1 = 20\,\text{m/s}\) और \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\); गले में \(v_2 = 60\,\text{m/s}\)। \(P_2\) खोजें।
- वेग पद: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\)।
- उन्नयन पद: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (क्षैतिज)।
- \(P_1\) में जोड़ें: \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\)।
- परिणाम: \(P_2 = \) 99365 Pa।
जैसे-जैसे वायु गले में त्वरित होती है इसका स्थैतिक दबाव 1960 Pa से गिरता है — वेंचुरी प्रभाव। यह गिरावट गतिशील दबाव में वृद्धि के बराबर है, क्योंकि दोनों गतियों के लिए हमने जांच की है कि वेग (मैच ≈ 0.18) मैच 0.3 असंपीड़्यता सीमा से अच्छी तरह नीचे रहता है, इसलिए वायु को स्थिर-घनत्व के रूप में मानना यहाँ वैध है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह संपीड्य (compressible) प्रवाह के लिए काम करता है? नहीं। बर्नूली का समीकरण घनत्व को स्थिर मानता है, इसलिए यह तरल पदार्थों और कम गति वाले गैस प्रवाह (Mach < 0.3) के लिए सटीक है।
घर्षण और श्यानता (viscosity) का क्या? आदर्श समीकरण ऊर्जा हानियों को नज़रअंदाज़ कर देता है। वास्तविक पाइपों के लिए आपको हेड-लॉस पद जोड़ने होंगे।
क्या यह वेग की गणना कर सकता है? यह संस्करण \(P_2\) हल करता है, लेकिन आप इसी समीकरण को पुनः व्यवस्थित करके अज्ञात वेग या ऊँचाई भी निकाल सकते हैं।
