ベルヌーイの定理とは？
ベルヌーイの定理は、流れている流体におけるエネルギー保存の法則を表したものです。定常で非圧縮性、かつ摩擦のない（非粘性の）流れにおいて、一本の流線に沿って「静圧」「動圧（\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)）」「静水圧（\(\rho g h\)）」の和は一定に保たれます。この計算ツールはこの原理を利用し、1点目の条件が分かっているときに、2点目の静圧\(P_2\)を求めます。
計算ツールの使い方
まず流体の密度\(\rho\)（水なら1000 kg/m³、空気なら約1.225 kg/m³）と重力加速度\(g\)（9.81 m/s²）を入力します。次に、点1における圧力・流速・高さを入力し、続いて点2における流速と高さを入力してください。ツールは\(P_2\)をパスカル（Pa）で表示するとともに、各エネルギー項の内訳も併せて示します。
計算式の解説
出発点となるのは $$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2$$ という式です。これを\(P_2\)について解くと、次のように整理できます。
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
流体の速度が増す（\(v_2 > v_1\)）と動圧の項が大きくなり、静圧\(P_2\)は下がります。これこそが、翼が生み出す揚力、キャブレター、ベンチュリ管などの原理となっています。
計算例
水（\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)）が、高さ\(h_1 = 0\)、圧力\(P_1 = 101325\ \text{Pa}\) の地点を \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) で流れているとします。下流で同じ高さのまま \(v_2 = 5\ \text{m/s}\) まで加速したとすると、$$P_2 = 101325 + 0.5\cdot1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Pa}}$$ となります。運動エネルギーが増えた分、圧力が下がっていることが分かります。
定数＆参照値
ベルヌーイ方程式には重力加速度と流体密度の値が必要です。下記の値を出発点として使用し、常に一貫したSI単位で作業してください（圧力はパスカル、密度はkg/m³、速度はm/s、高さはメートル）。
| 物理量 | 記号 | 値 | 単位 |
|---|---|---|---|
| 標準重力加速度 | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| 淡水（約4 °C） | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| 海水 | \(\rho\) | 約1025 | kg/m³ |
| 空気（海面、15 °C） | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| 軽油/潤滑油 | \(\rho\) | 約850–900 | kg/m³ |
非圧縮性に関する注記： 古典的なベルヌーイ方程式は密度が一定であることを仮定しています。気体の場合、これは低速でのみ成立します — 通常、マッハ数が約0.3以下（海面の空気でおよそ100 m/s）の場合です。それ以上の速度では圧縮性効果が顕著になり、代わりに圧縮流のエネルギーバランスを使用すべきです。
定義と用語集
- \(P_1\)、\(P_2\) — 静圧 は上流および下流の点における圧力（Pa）です。これは流体とともに移動するセンサーが読み取る圧力であり、流動とは無関係です。
- \(v\) — 流量速度 は流線に沿った流体の速度（m/s）です。\(v_1\) と \(v_2\) は2つの点での速度です。
- \(h\) — 標高ヘッド は、任意の基準面を上にある点の垂直高さ（m）です。
- \(\rho\) — 密度 は流体の単位体積あたりの質量（kg/m³）であり、非圧縮流では一定と仮定されます。
- \(g\) — 重力加速度 （m/s²）、通常は9.81です。
- 静圧： 流体の熱力学的圧力（Pa）、方程式の \(P\) 項です。
- 動圧： 単位体積あたりの運動エネルギー項、\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) （Pa） — 流れが停止するときの圧力上昇です。
- 静水圧： 単位体積あたりの標高項、\(\rho g h\) （Pa） — 流体柱の重量/高さ差による圧力です。
- 流線： 局所速度に至るところで接する曲線；ベルヌーイの方程式は単一の流線に沿って適用されます。
- 粘性のない流れ： 粘性がない理想化された流れであり、摩擦によるエネルギー損失がありません。
- 定常流： 任意の固定点での流れの特性が時間とともに変わらない流れです。
さらに計算例
例1 — 標高変化、速度一定
水（\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)）が均一パイプを流れるため、速度は変わりません（\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)）。入口は \(h_1 = 10\,\text{m}\) で \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\) です；出口は \(h_2 = 4\,\text{m}\) に低下します。\(P_2\) を求めます。
- 速度項：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\)。
- 標高項：\(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\)。
- \(P_1\) に加算します：\(P_2 = 150000 + 0 + 58860\)。
- 結果：\(P_2 = \) 208860 Pa。
流体が6 m降下して標高ヘッドを圧力に変換するため、下流で圧力が上昇します。58860 Pa の増加は6 m水柱の静水圧と一致します。
例2 — ベンチュリを通る空気（速度増加）
空気（\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)）が水平に流れます（\(h_1 = h_2 = 0\)）ベンチュリを通過します。広い入口では \(v_1 = 20\,\text{m/s}\) で \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\) です；喉部では \(v_2 = 60\,\text{m/s}\) です。\(P_2\) を求めます。
- 速度項：\(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\)。
- 標高項：\(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) （水平）。
- \(P_1\) に加算します：\(P_2 = 101325 - 1960 + 0\)。
- 結果：\(P_2 = \) 99365 Pa。
喉部で空気が加速すると、その静圧は1960 Pa低下します — ベンチュリ効果です。その低下は動圧の増加と等しいです。両方の速度については、速度（マッハ数 ≈ 0.18）がマッハ0.3の非圧縮性限界をはるかに下回ることを確認しているため、ここで空気を一定密度として扱うことは妥当です。
よくある質問
圧縮性のある流れにも使えますか？ いいえ。ベルヌーイの定理は密度が一定であることを前提としているため、液体や低速の気体の流れ（マッハ数0.3未満）に対して正確です。
摩擦や粘性はどう扱いますか？ 理想化された式では損失を無視しています。実際の配管を扱う場合は、損失水頭（ヘッドロス）の項を加える必要があります。
速度を求めることもできますか？ このツールは\(P_2\)を求めるものですが、同じ式を変形すれば、未知の流速や高さを求めることもできます。
