Bernoulli Denklemi Nedir?
Bernoulli denklemi, hareket halindeki bir akışkanda enerjinin korunumunu ifade eder. Bir akım çizgisi boyunca kararlı, sıkıştırılamaz ve sürtünmesiz (ideal) akışta; statik basınç, dinamik basınç (\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\)) ve hidrostatik basıncın (\(\rho g h\)) toplamı sabit kalır. Bu hesaplama aracı, ilk noktadaki koşullar bilindiğinde ikinci noktadaki statik basınç \(P_2\)'yi bu ilkeden yararlanarak bulur.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
Önce akışkanın yoğunluğunu \(\rho\) (su için 1000 kg/m³, hava için yaklaşık 1,225 kg/m³) ve yerçekimi ivmesini \(g\) (9,81 m/s²) girin. Ardından 1. Nokta'daki basınç, hız ve yükseklik değerlerini, sonra da 2. Nokta'daki hız ve yükseklik değerlerini ekleyin. Araç, \(P_2\) değerini pascal cinsinden hesaplar ve her enerji teriminin ayrıntılı dökümünü gösterir.
Formülün Açıklaması
\(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\) eşitliğinden yola çıkarak \(P_2\)'yi yalnız bırakacak şekilde düzenleriz:
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
Akışkan hızlandığında (\(v_2 > v_1\)) dinamik terim büyür ve statik basınç \(P_2\) düşer. İşte kaldırma kuvvetinin, karbüratörlerin ve Venturi ölçerlerin temelinde yatan ilke budur.
Çözümlü Örnek
Su (\(\rho = 1000\ \text{kg/m}^3\)), \(h_1 = 0\) yüksekliğinde \(P_1 = 101325\ \text{Pa}\) basınçla \(v_1 = 2\ \text{m/s}\) hızında akıyor. Akış yönünde aynı yükseklikte \(v_2 = 5\ \text{m/s}\)'ye hızlanıyor. Bu durumda $$P_2 = 101325 + 0{,}5 \cdot 1000 \cdot (4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Pa}}$$ olur. Kinetik enerji arttığı için basınç düşmüştür.
Sabitler ve Referans Değerleri
Bernoulli denklemi, yerçekimi ivmesi ve akışkan yoğunluğu için bir değer gerektirir. Aşağıdaki değerleri başlangıç noktası olarak kullanın ve her zaman tutarlı SI birimleriyle çalışın (basınç paskal cinsinden, yoğunluk kg/m³ cinsinden, hız m/s cinsinden, yükseklik metre cinsinden).
| Büyüklük | Sembol | Değer | Birim |
|---|---|---|---|
| Standart yerçekimi ivmesi | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| Tatlı su (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Tuzlu su | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| Hava (deniz seviyesi, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| Hafif/ıslatıcı yağ | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
Sıkışmazlık notu: Klasik Bernoulli denklemi sabit yoğunluğu varsayar. Gazlar için bu yalnızca düşük hızlarda geçerlidir — tipik olarak yaklaşık 0.3 Mach sayısının altında (deniz seviyesi havada kabaca 100 m/s). Bu eşiğin üzerinde sıkışabilirlik etkileri önemli hale gelir ve bunun yerine sıkışabilir akış enerji dengesi kullanılmalıdır.
Tanımlar ve Sözlük
- \(P_1\), \(P_2\) — statik basınç hızlı akış ve yavaş akış noktalarında (Pa). Bu, akışkanla hareket eden bir sensörün okuduğu basınç olup, hareket bağımsızdır.
- \(v\) — akış hızı akışkanın bir akış çizgisi boyunca hızı (m/s). \(v_1\) ve \(v_2\) iki noktadaki hızlardır.
- \(h\) — yükseklik başı, noktanın keyfi bir başlangıç noktası üzerindeki dikey yüksekliği (m).
- \(\rho\) — yoğunluk, akışkanın birim hacim başına kütlesi (kg/m³), sıkışmaz akış için sabit kabul edilir.
- \(g\) — yerçekimi ivmesi (m/s²), genellikle 9.81.
- Statik basınç: akışkanın termodinamik basıncı (Pa), denklemdeki \(P\) terimleri.
- Dinamik basınç: birim hacim başına kinetik enerji terimi, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — akış durduğunda basınç yükselişi.
- Hidrostatik basınç: birim hacim başına yükseklik terimi, \(\rho g h\) (Pa) — akışkan sütununun ağırlığından kaynaklanan basınç / yükseklik farkı.
- Akış çizgisi: her yerde yerel hıza teğet olan bir eğri; Bernoulli denklemi bir tek akış çizgisi boyunca uygulanır.
- Viskositesiz akış: viskozitesi olmayan idealize edilmiş akış, bu nedenle hiçbir enerji sürtünmeye kaybedilmez.
- Sabit akış: herhangi bir sabit noktadaki özellikleri zamanla değişmeyen akış.
Daha Fazla Çözülmüş Örnek
Örnek 1 — Yükseklik değişikliği, sabit hız
Su (\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\)) üniform bir boru içinden akıyor, bu nedenle hız değişmiyor (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)). Giriş \(h_1 = 10\,\text{m}\) konumunda \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\) ile; çıkış \(h_2 = 4\,\text{m}\) konumuna düşer. \(P_2\) değerini bulun.
- Hız terimi: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\).
- Yükseklik terimi: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\).
- \(P_1\) ekle: \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- Sonuç: \(P_2 = \) 208860 Pa.
Akışkan 6 m alçaldığı için akış yönündeki basınç yükselir ve yükseklik başı basınça dönüşür. 58860 Pa kazanç, 6 m su sütununun hidrostatik basıncıyla eşleşir.
Örnek 2 — Venturi içinden hava (hız artıyor)
Hava (\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\)) yatay olarak (\(h_1 = h_2 = 0\)) bir Venturi içinden akıyor. Geniş girişte \(v_1 = 20\,\text{m/s}\) ve \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\); boğazda \(v_2 = 60\,\text{m/s}\). \(P_2\) değerini bulun.
- Hız terimi: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\).
- Yükseklik terimi: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (yatay).
- \(P_1\) ekle: \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- Sonuç: \(P_2 = \) 99365 Pa.
Hava boğazda hızlandıkça statik basıncı 1960 Pa düşer — Venturi etkisi. Bu düşüş, her iki hız için de dinamik basınç artışına eşittir, çünkü hızın (Mach ≈ 0.18) Mach 0.3 sıkışmazlık sınırının çok altında kaldığını doğruladık, bu nedenle havayı sabit yoğunluklu olarak işlemek burada geçerlidir.
Sıkça Sorulan Sorular
Sıkıştırılabilir akışta da geçerli mi? Hayır. Bernoulli denklemi yoğunluğun sabit olduğunu varsayar; bu nedenle sıvılarda ve düşük hızlı gaz akışlarında (Mach \(< 0{,}3\)) doğru sonuç verir.
Sürtünme ve viskozite ne olacak? İdeal denklem kayıpları yok sayar. Gerçek borularda yük kaybı terimlerini de eklemeniz gerekir.
Hızı da hesaplayabilir mi? Bu sürüm \(P_2\) için çözüm yapar; ancak aynı denklemi yeniden düzenleyerek bilinmeyen bir hızı veya yüksekliği de bulabilirsiniz.
