베르누이 방정식이란?

베르누이 방정식은 움직이는 유체 안에서 에너지가 보존된다는 원리를 나타냅니다. 정상 상태이고 비압축성이며 마찰이 없는(비점성) 유동이 유선을 따라 흐를 때, 정압·동압($\tfrac{1}{2}\rho v^{2}$)·정수압($\rho g h$)의 합은 항상 일정합니다. 이 계산기는 첫 번째 지점의 조건을 알 때, 이 원리를 이용해 두 번째 지점의 정압 $P_2$를 구해 줍니다.

폭과 높이가 변하는 관에서 두 지점의 유체 흐름을 압력·속도·높이 라벨과 함께 보여 주는 그림 — 베르누이 정리는 유선 위 두 지점 사이의 압력, 속도, 높이의 관계를 나타냅니다.

계산기 사용법

먼저 유체 밀도 $\rho$(물은 1000 kg/m³, 공기는 약 1.225 kg/m³)와 중력가속도 $g$(9.81 m/s²)를 입력하세요. 그다음 지점 1에서의 압력·유속·높이를, 이어서 지점 2에서의 유속과 높이를 넣으면 됩니다. 계산기는 $P_2$ 값을 파스칼 단위로 알려 주며, 각 에너지 항의 세부 값까지 함께 보여 줍니다.

공식 풀이

기본 식인 $P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2$ 에서 $P_2$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$

유체가 빨라지면($v_2 > v_1$) 동압 항이 커지면서 정압 $P_2$는 낮아집니다. 바로 이 원리가 비행기의 양력, 기화기, 벤투리 유량계의 작동 원리입니다.

압력 에너지, 운동 에너지, 위치 에너지가 일정한 총합을 이루는 것을 보여 주는 세 개의 누적 막대 — 방정식의 각 항은 단위 부피당 에너지이며, 그 합은 흐름을 따라 일정하게 유지됩니다.

계산 예시

물($\rho = 1000$ kg/m³)이 $h_1 = 0$ 지점에서 $P_1 = 101325$ Pa, $v_1 = 2$ m/s 로 흐른다고 합시다. 하류에서 같은 높이를 유지한 채 $v_2 = 5$ m/s 로 빨라지면, $$P_2 = 101325 + 0.5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = 90825\ \text{Pa}$$ 가 됩니다. 운동 에너지가 늘어난 만큼 압력이 떨어진 것이죠.

상수 및 참조값

베르누이 방정식에는 중력 가속도 값과 유체 밀도 값이 필요합니다. 아래 값들을 시작점으로 사용하되, 항상 일관된 SI 단위로 작업하십시오(압력 단위: 파스칼, 밀도 단위: kg/m³, 속도 단위: m/s, 높이 단위: 미터).

물리량	기호	값	단위
표준 중력 가속도	$g$	9.81	m/s²
담수 (~4 °C)	$\rho$	1000	kg/m³
해수	$\rho$	~1025	kg/m³
공기 (해수면, 15 °C)	$\rho$	1.225	kg/m³
경유/윤활유	$\rho$	~850–900	kg/m³

압축성 불가 참고: 고전적인 베르누이 방정식은 일정한 밀도를 가정합니다. 기체의 경우 이는 낮은 속도에서만 잘 성립합니다(일반적으로 약 0.3 마하수 이하, 대략 해수면 공기에서 시간당 100 m/s 이하). 그 한계값을 초과하면 압축성 효과가 중요해지며, 그 경우 압축성 유동 에너지 균형을 사용해야 합니다.

정의 및 용어 해설

$P_1$, $P_2$ — 정압력 상류 및 하류 지점의 (Pa 단위) 정압력입니다. 이는 유체와 함께 움직이는 센서가 읽을 수 있는 압력이며 운동과는 무관합니다.
$v$ — 유동 속도 유선 따라 유체의 속도 (m/s). $v_1$과 $v_2$는 두 지점에서의 속도입니다.
$h$ — 높이 수두, 임의의 기준점 위의 수직 높이 (m).
$\rho$ — 밀도, 유체의 단위 부피당 질량 (kg/m³), 압축성 불가 유동을 위해 일정한 것으로 가정합니다.
$g$ — 중력 가속도 (m/s²), 일반적으로 9.81입니다.
정압력: 유체의 열역학적 압력 (Pa), 방정식의 $P$ 항입니다.
동압력: 단위 부피당 운동 에너지 항, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ (Pa) — 유동이 정지할 때의 압력 상승입니다.
정수압력: 단위 부피당 높이 항, $\rho g h$ (Pa) — 유체 기둥의 무게/높이 차이로 인한 압력입니다.
유선: 국소 속도에 항상 접하는 곡선; 베르누이 방정식은 단일 유선을 따라 적용됩니다.
비점성 유동: 점성이 없는 이상화된 유동이므로 마찰로 인한 에너지 손실이 없습니다.
정상 유동: 임의의 고정된 점에서 성질이 시간에 따라 변하지 않는 유동입니다.

추가 계산 예제

예제 1 — 높이 변화, 일정한 속도

물 ($\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$)이 균일한 파이프를 통해 흐르므로 속도는 변하지 않습니다 ($v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}$). 입구는 $h_1 = 10\,\text{m}$에서 $P_1 = 150000\,\text{Pa}$입니다; 출구는 $h_2 = 4\,\text{m}$로 내려갑니다. $P_2$를 구하십시오.

속도 항: $\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}$.
높이 항: $\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}$.
$P_1$에 더합니다: $P_2 = 150000 + 0 + 58860$.
결과: $P_2 = $ 208860 Pa.

유체가 6 m 내려가므로 하류에서 압력이 증가하며, 높이 수두를 압력으로 변환합니다. 58860 Pa 증가는 6 m 물 기둥의 정수압력과 일치합니다.

예제 2 — 벤투리를 통한 공기 유동(속도 증가)

공기 ($\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3$)가 수평으로 흐릅니다 ($h_1 = h_2 = 0$) 벤투리를 통해. 넓은 입구에서 $v_1 = 20\,\text{m/s}$이고 $P_1 = 101325\,\text{Pa}$; 좁은 목에서 $v_2 = 60\,\text{m/s}$. $P_2$를 구하십시오.

속도 항: $\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}$.
높이 항: $\rho g(h_1 - h_2) = 0$ (수평).
$P_1$에 더합니다: $P_2 = 101325 - 1960 + 0$.
결과: $P_2 = $ 99365 Pa.

공기가 목에서 가속되면 정압력이 1960 Pa만큼 감소합니다 — 이는 벤투리 효과입니다. 그 감소량은 동압력 증가와 같습니다. 두 속도 모두 마하수 ≈ 0.18로 마하 0.3 압축성 불가 한계값보다 훨씬 아래이므로, 공기를 일정한 밀도로 취급하는 것이 여기서 타당합니다.

자주 묻는 질문

압축성 유동에도 쓸 수 있나요? 아니요. 베르누이 방정식은 밀도가 일정하다고 가정하므로, 액체나 저속 기체 유동(마하수 < 0.3)에만 정확합니다.

마찰과 점성은 어떻게 되나요? 이상 방정식은 손실을 무시합니다. 실제 배관 계산에서는 수두 손실(head-loss) 항을 추가로 더해야 합니다.

유속을 거꾸로 구할 수도 있나요? 이 버전은 $P_2$를 구하지만, 같은 식을 정리하면 모르는 유속이나 높이를 구할 수도 있습니다.

지점 1의 총 수두	103,325 Pa
지점 2의 동압 (½ρv₂²)	12,500 Pa
지점 2의 정수압 (ρgh₂)	0 Pa

베르누이 방정식 계산기

계산 입력

지점 1 (입력값)

지점 2 (P₂ 계산)

공식

결과