베르누이 방정식이란?
베르누이 방정식은 움직이는 유체 안에서 에너지가 보존된다는 원리를 나타냅니다. 정상 상태이고 비압축성이며 마찰이 없는(비점성) 유동이 유선을 따라 흐를 때, 정압·동압(\(\tfrac{1}{2}\rho v^{2}\))·정수압(\(\rho g h\))의 합은 항상 일정합니다. 이 계산기는 첫 번째 지점의 조건을 알 때, 이 원리를 이용해 두 번째 지점의 정압 \(P_2\)를 구해 줍니다.
계산기 사용법
먼저 유체 밀도 \(\rho\)(물은 1000 kg/m³, 공기는 약 1.225 kg/m³)와 중력가속도 \(g\)(9.81 m/s²)를 입력하세요. 그다음 지점 1에서의 압력·유속·높이를, 이어서 지점 2에서의 유속과 높이를 넣으면 됩니다. 계산기는 \(P_2\) 값을 파스칼 단위로 알려 주며, 각 에너지 항의 세부 값까지 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
기본 식인 \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\) 에서 \(P_2\)에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$유체가 빨라지면(\(v_2 > v_1\)) 동압 항이 커지면서 정압 \(P_2\)는 낮아집니다. 바로 이 원리가 비행기의 양력, 기화기, 벤투리 유량계의 작동 원리입니다.
계산 예시
물(\(\rho = 1000\) kg/m³)이 \(h_1 = 0\) 지점에서 \(P_1 = 101325\) Pa, \(v_1 = 2\) m/s 로 흐른다고 합시다. 하류에서 같은 높이를 유지한 채 \(v_2 = 5\) m/s 로 빨라지면, $$P_2 = 101325 + 0.5\cdot 1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = 90825\ \text{Pa}$$ 가 됩니다. 운동 에너지가 늘어난 만큼 압력이 떨어진 것이죠.
상수 및 참조값
베르누이 방정식에는 중력 가속도 값과 유체 밀도 값이 필요합니다. 아래 값들을 시작점으로 사용하되, 항상 일관된 SI 단위로 작업하십시오(압력 단위: 파스칼, 밀도 단위: kg/m³, 속도 단위: m/s, 높이 단위: 미터).
| 물리량 | 기호 | 값 | 단위 |
|---|---|---|---|
| 표준 중력 가속도 | \(g\) | 9.81 | m/s² |
| 담수 (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| 해수 | \(\rho\) | ~1025 | kg/m³ |
| 공기 (해수면, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | kg/m³ |
| 경유/윤활유 | \(\rho\) | ~850–900 | kg/m³ |
압축성 불가 참고: 고전적인 베르누이 방정식은 일정한 밀도를 가정합니다. 기체의 경우 이는 낮은 속도에서만 잘 성립합니다(일반적으로 약 0.3 마하수 이하, 대략 해수면 공기에서 시간당 100 m/s 이하). 그 한계값을 초과하면 압축성 효과가 중요해지며, 그 경우 압축성 유동 에너지 균형을 사용해야 합니다.
정의 및 용어 해설
- \(P_1\), \(P_2\) — 정압력 상류 및 하류 지점의 (Pa 단위) 정압력입니다. 이는 유체와 함께 움직이는 센서가 읽을 수 있는 압력이며 운동과는 무관합니다.
- \(v\) — 유동 속도 유선 따라 유체의 속도 (m/s). \(v_1\)과 \(v_2\)는 두 지점에서의 속도입니다.
- \(h\) — 높이 수두, 임의의 기준점 위의 수직 높이 (m).
- \(\rho\) — 밀도, 유체의 단위 부피당 질량 (kg/m³), 압축성 불가 유동을 위해 일정한 것으로 가정합니다.
- \(g\) — 중력 가속도 (m/s²), 일반적으로 9.81입니다.
- 정압력: 유체의 열역학적 압력 (Pa), 방정식의 \(P\) 항입니다.
- 동압력: 단위 부피당 운동 에너지 항, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Pa) — 유동이 정지할 때의 압력 상승입니다.
- 정수압력: 단위 부피당 높이 항, \(\rho g h\) (Pa) — 유체 기둥의 무게/높이 차이로 인한 압력입니다.
- 유선: 국소 속도에 항상 접하는 곡선; 베르누이 방정식은 단일 유선을 따라 적용됩니다.
- 비점성 유동: 점성이 없는 이상화된 유동이므로 마찰로 인한 에너지 손실이 없습니다.
- 정상 유동: 임의의 고정된 점에서 성질이 시간에 따라 변하지 않는 유동입니다.
추가 계산 예제
예제 1 — 높이 변화, 일정한 속도
물 (\(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\))이 균일한 파이프를 통해 흐르므로 속도는 변하지 않습니다 (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{m/s}\)). 입구는 \(h_1 = 10\,\text{m}\)에서 \(P_1 = 150000\,\text{Pa}\)입니다; 출구는 \(h_2 = 4\,\text{m}\)로 내려갑니다. \(P_2\)를 구하십시오.
- 속도 항: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Pa}\).
- 높이 항: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Pa}\).
- \(P_1\)에 더합니다: \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- 결과: \(P_2 = \) 208860 Pa.
유체가 6 m 내려가므로 하류에서 압력이 증가하며, 높이 수두를 압력으로 변환합니다. 58860 Pa 증가는 6 m 물 기둥의 정수압력과 일치합니다.
예제 2 — 벤투리를 통한 공기 유동(속도 증가)
공기 (\(\rho = 1.225\,\text{kg/m}^3\))가 수평으로 흐릅니다 (\(h_1 = h_2 = 0\)) 벤투리를 통해. 넓은 입구에서 \(v_1 = 20\,\text{m/s}\)이고 \(P_1 = 101325\,\text{Pa}\); 좁은 목에서 \(v_2 = 60\,\text{m/s}\). \(P_2\)를 구하십시오.
- 속도 항: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Pa}\).
- 높이 항: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (수평).
- \(P_1\)에 더합니다: \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- 결과: \(P_2 = \) 99365 Pa.
공기가 목에서 가속되면 정압력이 1960 Pa만큼 감소합니다 — 이는 벤투리 효과입니다. 그 감소량은 동압력 증가와 같습니다. 두 속도 모두 마하수 ≈ 0.18로 마하 0.3 압축성 불가 한계값보다 훨씬 아래이므로, 공기를 일정한 밀도로 취급하는 것이 여기서 타당합니다.
자주 묻는 질문
압축성 유동에도 쓸 수 있나요? 아니요. 베르누이 방정식은 밀도가 일정하다고 가정하므로, 액체나 저속 기체 유동(마하수 < 0.3)에만 정확합니다.
마찰과 점성은 어떻게 되나요? 이상 방정식은 손실을 무시합니다. 실제 배관 계산에서는 수두 손실(head-loss) 항을 추가로 더해야 합니다.
유속을 거꾸로 구할 수도 있나요? 이 버전은 \(P_2\)를 구하지만, 같은 식을 정리하면 모르는 유속이나 높이를 구할 수도 있습니다.
