Что такое уравнение Бернулли?
Уравнение Бернулли описывает закон сохранения энергии в движущейся жидкости. При стационарном, несжимаемом и невязком (идеальном) течении вдоль линии тока сумма статического давления, динамического давления (\(\tfrac{1}{2}\rho v^2\)) и гидростатического давления (\(\rho g h\)) остаётся постоянной. Этот калькулятор использует данный принцип, чтобы определить статическое давление \(P_2\) во второй точке, если известны условия в первой.
Как пользоваться калькулятором
Введите плотность жидкости \(\rho\) (1000 кг/м³ для воды, примерно 1,225 кг/м³ для воздуха) и ускорение свободного падения \(g\) (9,81 м/с²). Укажите давление, скорость и высоту в Точке 1, а затем скорость и высоту в Точке 2. Калькулятор выдаст значение \(P_2\) в паскалях вместе с разбивкой по каждому энергетическому слагаемому.
Разбор формулы
Исходя из равенства \(P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g h_2\), выражаем \(P_2\):
$$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\,\rho\left(v_1^{2} - v_2^{2}\right) + \rho\,g\left(h_1 - h_2\right)$$
Когда жидкость ускоряется (\(v_2 > v_1\)), динамическое слагаемое растёт, а статическое давление \(P_2\) падает — именно на этом основаны подъёмная сила крыла, работа карбюраторов и расходомеров Вентури.
Пример расчёта
Вода (\(\rho = 1000\) кг/м³) движется со скоростью \(v_1 = 2\) м/с при давлении \(P_1 = 101325\) Па на высоте \(h_1 = 0\). Ниже по течению поток ускоряется до \(v_2 = 5\) м/с на той же высоте. Тогда $$P_2 = 101325 + 0{,}5\cdot1000\cdot(4 - 25) + 0 = 101325 - 10500 = \mathbf{90825\ \text{Па}}.$$ Давление снижается, потому что выросла кинетическая энергия.
Частые вопросы
Подходит ли это для сжимаемого течения? Нет. Уравнение Бернулли предполагает постоянную плотность, поэтому оно точно для жидкостей и медленных газовых потоков (число Маха < 0,3).
А как же трение и вязкость? Идеальное уравнение не учитывает потери. Для реальных трубопроводов нужно добавлять слагаемые потерь напора.
Можно ли вычислить скорость вместо давления? Эта версия решает уравнение относительно \(P_2\), но ту же формулу можно преобразовать и найти неизвестную скорость или высоту.
Константы и справочные значения
Уравнение Бернулли требует значения гравитационного ускорения и плотности жидкости. Используйте значения ниже в качестве отправной точки и всегда работайте в согласованных единицах СИ (давление в паскалях, плотность в кг/м³, скорость в м/с, высота в метрах).
| Величина | Символ | Значение | Единицы |
|---|---|---|---|
| Стандартное гравитационное ускорение | \(g\) | 9.81 | м/с² |
| Пресная вода (~4 °C) | \(\rho\) | 1000 | кг/м³ |
| Морская вода | \(\rho\) | ~1025 | кг/м³ |
| Воздух (уровень моря, 15 °C) | \(\rho\) | 1.225 | кг/м³ |
| Легкое/смазочное масло | \(\rho\) | ~850–900 | кг/м³ |
Примечание о несжимаемости: Классическое уравнение Бернулли предполагает постоянную плотность. Для газов это справедливо только при низких скоростях — обычно ниже числа Маха около 0.3 (примерно 100 м/с в воздухе на уровне моря). Выше этого порога эффекты сжимаемости становятся значительными, и вместо этого следует использовать энергетический баланс для сжимаемого потока.
Определения и глоссарий
- \(P_1\), \(P_2\) — статическое давление в верхней по потоку и нижней по потоку точках (Па). Это давление, которое датчик, движущийся с жидкостью, измеряет независимо от движения.
- \(v\) — скорость потока жидкости вдоль линии тока (м/с). \(v_1\) и \(v_2\) — это скорости в двух точках.
- \(h\) — напор по высоте, вертикальная высота точки выше произвольного уровня отсчета (м).
- \(\rho\) — плотность, масса на единицу объема жидкости (кг/м³), предполагается постоянной для несжимаемого потока.
- \(g\) — гравитационное ускорение (м/с²), обычно 9.81.
- Статическое давление: термодинамическое давление жидкости (Па), члены \(P\) в уравнении.
- Динамическое давление: член кинетической энергии на единицу объема, \(\tfrac{1}{2}\rho v^2\) (Па) — повышение давления при остановке потока.
- Гидростатическое давление: член высоты на единицу объема, \(\rho g h\) (Па) — давление из-за веса столба жидкости / разницы высот.
- Линия тока: кривая, везде касательная к локальной скорости; уравнение Бернулли применяется вдоль одной линии тока.
- Невязкий поток: идеализированный поток без вязкости, поэтому энергия не теряется на трение.
- Установившийся поток: поток, свойства которого в любой фиксированной точке не изменяются со временем.
Дополнительные примеры решений
Пример 1 — Изменение высоты, постоянная скорость
Вода (\(\rho = 1000\,\text{кг/м}^3\)) течет через равномерную трубу, поэтому скорость не изменяется (\(v_1 = v_2 = 2\,\text{м/с}\)). Вход находится на \(h_1 = 10\,\text{м}\) с \(P_1 = 150000\,\text{Па}\); выход опускается к \(h_2 = 4\,\text{м}\). Найти \(P_2\).
- Член скорости: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1000)(2^2 - 2^2) = 0\,\text{Па}\).
- Член высоты: \(\rho g(h_1 - h_2) = 1000 \times 9.81 \times (10 - 4) = 58860\,\text{Па}\).
- Прибавить к \(P_1\): \(P_2 = 150000 + 0 + 58860\).
- Результат: \(P_2 = \) 208860 Па.
Давление повышается ниже по потоку, потому что жидкость опускается на 6 м, преобразуя напор по высоте в давление. Прирост 58860 Па соответствует гидростатическому давлению водяного столба высотой 6 м.
Пример 2 — Воздух через трубку Вентури (скорость растет)
Воздух (\(\rho = 1.225\,\text{кг/м}^3\)) течет горизонтально (\(h_1 = h_2 = 0\)) через трубку Вентури. На широком входе \(v_1 = 20\,\text{м/с}\) и \(P_1 = 101325\,\text{Па}\); в горловине \(v_2 = 60\,\text{м/с}\). Найти \(P_2\).
- Член скорости: \(\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) = \tfrac{1}{2}(1.225)(20^2 - 60^2) = 0.6125 \times (400 - 3600) = -1960\,\text{Па}\).
- Член высоты: \(\rho g(h_1 - h_2) = 0\) (горизонтально).
- Прибавить к \(P_1\): \(P_2 = 101325 - 1960 + 0\).
- Результат: \(P_2 = \) 99365 Па.
Когда воздух ускоряется в горловине, его статическое давление падает на 1960 Па — эффект Вентури. Это падение равно увеличению динамического давления, поскольку для обеих скоростей мы проверили, что скорость (Мах ≈ 0.18) остается намного ниже предела несжимаемости Мах 0.3, поэтому рассмотрение воздуха как постоянной плотности здесь справедливо.
