Калькулятор уравнения Циолковского

Введите расчет

Эффективная скорость истечения (м/с)

Начальная масса m₀ (кг)

Конечная масса m_f (кг)

Результатов

Характеристическая скорость (Δv)

4 828,31

метров в секунду

Отношение масс (m₀ / m_f)	5

Что такое уравнение Циолковского?

Формула Циолковского описывает движение аппарата, который разгоняется, выбрасывая часть собственной массы с большой скоростью. Она связывает приращение скорости (характеристическую скорость, \(\Delta v\)), которое способна набрать ракета, со скоростью истечения рабочего тела и отношением её стартовой массы к конечной. Этот калькулятор универсален — он подходит для любой ракеты в любой точке Вселенной, ведь в его основе лежит чистая ньютоновская механика.

The rocket gains velocity (\(\Delta v\)) by expelling mass at exhaust velocity \(v_e\), changing from initial mass \(m_0\) to final mass \(m_f\).

Как пользоваться калькулятором

Введите три величины: эффективную скорость истечения \(v_e\) (скорость, с которой рабочее тело покидает двигатель; её часто получают, умножая удельный импульс на 9,81), начальную массу \(m_0\) (полностью заправленная ракета) и конечную массу \(m_f\) (ракета после выгорания топлива). Калькулятор выдаст суммарную достижимую \(\Delta v\) в метрах в секунду, а также отношение масс.

Разбор формулы

$$\Delta v = v_e \cdot \ln\!\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$$ Натуральный логарифм отражает закон убывающей отдачи от запаса топлива: удвоение количества топлива вовсе не удваивает \(\Delta v\). Чем выше скорость истечения (то есть чем эффективнее двигатель), тем пропорционально больше \(\Delta v\) — именно поэтому двигатели с высоким удельным импульсом так ценны для дальних межпланетных миссий.

Реклама

\(\Delta v\) grows with the logarithm of the mass ratio, so each extra unit of delta-v needs disproportionately more propellant.

Пример расчёта

Пусть \(v_e = 3000\ \text{м/с}\), \(m_0 = 50\,000\ \text{кг}\), а \(m_f = 10\,000\ \text{кг}\). Отношение масс равно \(50\,000 / 10\,000 = 5\). Тогда $$\Delta v = 3000 \times \ln(5) = 3000 \times 1{,}6094 \approx 4828\ \text{м/с}.$$ Этого приращения скорости достаточно для серьёзного орбитального манёвра.

Частые вопросы

Что такое эффективная скорость истечения? Она равна удельному импульсу (\(I_{sp}\) в секундах), умноженному на стандартное ускорение свободного падения (\(9{,}80665\ \text{м/с}^2\)). При \(I_{sp} = 300\ \text{с}\) получаем \(v_e \approx 2942\ \text{м/с}\).

Учитывает ли формула гравитацию и сопротивление воздуха? Нет. Идеальное уравнение даёт максимальную \(\Delta v\) в свободном пространстве. Реальные пуски теряют часть \(\Delta v\) на преодоление гравитации и атмосферного сопротивления, поэтому инженеры закладывают запас.

Почему топливо даёт убывающую отдачу? Потому что \(\Delta v\) растёт пропорционально логарифму отношения масс — каждая дополнительная порция топлива должна разгонять и всё топливо, лежащее «выше» неё, так что выигрыш постепенно уменьшается.