सिग्मॉइड फ़ंक्शन द्वितीय अवकलज कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गेन a

x

परिणाम

द्वितीय अवकलज s''_a(x)

-0.057557

मात्रकरहित

सिग्मॉइड s_a(x)	0.622459
प्रथम अवकलज s'_a(x)	0.235004
द्वितीय अवकलज s''_a(x)	-0.057557

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल गेन-पैरामीटर वाले लॉजिस्टिक सिग्मॉइड के द्वितीय अवकलज, यानी \(s''_a(x)\), को किसी बिंदु \(x\) पर चुने गए गेन \(a\) (ढाल पैरामीटर, जिसे अक्सर अल्फा कहते हैं) के लिए निकालता है। लॉजिस्टिक सिग्मॉइड न्यूरल नेटवर्क और सांख्यिकीय मॉडलों में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाले एक्टिवेशन फ़ंक्शनों में से एक है, और इसके अवकलज ग्रेडिएंट-आधारित ट्रेनिंग तथा वक्रता (कर्वेचर) विश्लेषण में हर जगह दिखाई देते हैं।

सूत्र

गेन-\(a\) वाला सिग्मॉइड है $$s_a(x) = \frac{1}{1 + e^{-a x}}$$ इसका प्रथम अवकलज है $$s'_a(x) = a \, s \, (1 - s)$$ और द्वितीय अवकलज है $$s''_a(x) = a^2 \, s \, (1 - s) \, (1 - 2s)$$ जहाँ \(s = s_a(x)\) है। चूँकि सब कुछ \(s\) के रूप में ही व्यक्त है, इसलिए कैलकुलेटर पहले \(s\) निकालता है और फिर उसी का दोनों अवकलजों के लिए दोबारा उपयोग करता है। हर \(1 + e^{-a x}\) हमेशा धनात्मक रहता है, इसलिए शून्य से भाग देने की कोई समस्या कभी नहीं आती।

The sigmoid (top), its first derivative (bell), and its second derivative (S-shaped wave crossing zero at the center).

इसका उपयोग कैसे करें

गेन \(a\) (डिफ़ॉल्ट 1) और मूल्यांकन बिंदु \(x\) (डिफ़ॉल्ट 0.5) दर्ज करें, फिर सिग्मॉइड मान, प्रथम अवकलज और मुख्य परिणाम — द्वितीय अवकलज — पढ़ें। इन्फ्लेक्शन बिंदु (नति-परिवर्तन बिंदु) ढूँढने के लिए ध्यान दें कि \(s''_a(x) = 0\) ठीक वहीं होता है जहाँ \(s = 0.5\) हो, जो किसी भी गेन के लिए \(x = 0\) पर होता है।

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हल किया हुआ उदाहरण

\(a = 1\) और \(x = 0.5\) के साथ: \(e^{-0.5} = 0.606531\), तो $$s = \frac{1}{1.606531} = 0.622459$$ फिर \(1 - s = 0.377541\) और $$s' = 1 \times 0.622459 \times 0.377541 = 0.235004$$ अंत में \(1 - 2s = -0.244919\), जिससे $$s'' = 1 \times 0.235004 \times (-0.244919) = -0.057557$$ मिलता है।

Evaluating s''_a(x): the curve peaks, crosses zero at the sigmoid's center, then troughs.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

गेन \(a\) क्या करता है? यह सिग्मॉइड की तीव्रता (ढाल) को बढ़ाता-घटाता है; बड़ा \(a\) अधिक तेज़ बदलाव पैदा करता है। \(a = 0\) रखने पर \(s\) हर जगह 0.5 हो जाता है, इसलिए दोनों अवकलज 0 हो जाते हैं।

द्वितीय अवकलज कहाँ शून्य होता है? \(x = 0\) पर, यानी इन्फ्लेक्शन बिंदु पर, जहाँ सिग्मॉइड उत्तल (कॉन्वेक्स) से अवतल (कॉन्केव) में बदलता है।

क्या यह संख्यात्मक रूप से स्थिर है? हाँ — ऋणात्मक \(a x\) के लिए कैलकुलेटर समतुल्य रूप \(\frac{e^{a x}}{1 + e^{a x}}\) का उपयोग करता है ताकि एक्सपोनेंशियल ओवरफ़्लो से बचा जा सके।