ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المشتقة الثانية للدالة اللوجستية السينية (السيغمويد) المُعامَلة بالكسب، والمكتوبة على الصورة \(s''_a(x)\)، عند نقطة \(x\) وقيمة كسب \(a\) مختارة (وهو معامل الميل، ويُسمى غالبًا ألفا). تُعد الدالة اللوجستية السينية من أكثر دوال التنشيط شيوعًا في الشبكات العصبية والنماذج الإحصائية، وتظهر مشتقاتها في كل مكان ضمن التدريب القائم على التدرّج وتحليل الانحناء.
الصيغ الرياضية
تُكتب الدالة السينية بكسب \(a\) على الصورة $$s_a(x) = \frac{1}{1 + e^{-a\,x}}$$ ومشتقتها الأولى هي $$s'_a(x) = a\,s\,(1 - s)$$ أما مشتقتها الثانية فهي $$s''_a(x) = a^{2}\,s\,(1 - s)\,(1 - 2s)$$ حيث \(s = s_a(x)\). وبما أن كل شيء معبَّر عنه بدلالة \(s\)، فإن الحاسبة تحسب \(s\) أولًا ثم تعيد استخدامها في كلتا المشتقتين. والمقام \(1 + e^{-a\,x}\) موجب دائمًا، لذا لا توجد أي مشكلة قسمة على صفر.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة الكسب \(a\) (الافتراضية 1) ونقطة التقييم \(x\) (الافتراضية 0.5)، ثم اقرأ قيمة الدالة السينية والمشتقة الأولى والمشتقة الثانية الرئيسية. ولإيجاد نقطة الانعطاف، لاحظ أن \(s''_a(x) = 0\) تتحقق تمامًا عندما تكون \(s = 0.5\)، وهو ما يحدث عند \(x = 0\) مهما كانت قيمة الكسب.
مثال محلول
بأخذ \(a = 1\) و \(x = 0.5\): نجد أن \(e^{-0.5} = 0.606531\)، ومنه \(s = \frac{1}{1.606531} = 0.622459\). ثم \(1 - s = 0.377541\)، و \(s' = 1 \times 0.622459 \times 0.377541 = 0.235004\). وأخيرًا \(1 - 2s = -0.244919\)، ما يعطي \(s'' = 1 \times 0.235004 \times (-0.244919) = -0.057557\).
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة الكسب \(a\)؟ يتحكم في حدّة انحدار الدالة السينية؛ فكلما زادت قيمة \(a\)، زادت حدّة الانتقال. وعند ضبط \(a = 0\) تصبح \(s = 0.5\) في كل النقاط، فتساوي كلتا المشتقتين الصفر.
أين تنعدم المشتقة الثانية؟ عند \(x = 0\)، وهي نقطة الانعطاف، حيث تتحول الدالة السينية من محدّبة إلى مقعّرة.
هل هي مستقرة عدديًا؟ نعم — فعندما تكون \(a\,x\) سالبة تستخدم الحاسبة الصيغة المكافئة \(\frac{e^{a\,x}}{1 + e^{a\,x}}\) لتفادي طفحان الأس.
