大きな指数の計算機

結果

計算結果（科学的記数法）

1.071508607 × 10^301

桁数	302

大きな指数の計算機とは？

この計算機は、非負の整数について x の n 乗（$x^n$ と書きます）を計算します。答えが数千桁になるようなケースにも対応しています。たとえば $2^{1000}$ は 302 桁にもなるため、初期状態では科学的記数法と合計桁数で表示されます。さらに、任意精度の正確な計算によって、全桁を省略せずに完全な整数として表示することもできます。

使い方

底 x（0〜9,999,999）と指数 n（0〜99,999）を入力してください。どちらも 0 以上の整数である必要があります。数値をすべて書き出したい場合は「完全な整数を表示する」にチェックを入れます。チェックを外したままにすれば、コンパクトな科学的記数法ですばやく結果が得られます。底が負の数の場合や指数が小数の場合は、一般的なべき乗計算機をご利用ください。

計算式の解説

正確な値は $r = x^n$ です。これを科学的記数法で表すには対数を使います。$\log_{10}(r) = n \cdot \log_{10}(x)$ です。10 の指数部分は $e = \lfloor \log_{10}(r) \rfloor$、仮数部は $m = 10^{\log_{10}(r) - e}$ で、有効数字およそ 10 桁に丸めます。完全な整数の桁数は単純に $D = e + 1$ で求められます。

$$\text{x}^{\text{n}} = m \times 10^{e}$$$$\begin{gathered} \text{x}^{\text{n}} = m \times 10^{e} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} e &= \left\lfloor \text{n} \cdot \log_{10}\text{x} \right\rfloor \\ m &= 10^{\,\text{n}\,\log_{10}\text{x}\,-\,e} \\ \text{digits} &= e + 1 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

底を指数で累乗する様子を各部のラベル付きで示した図 — 底 x を n 回掛け合わせて $x^n$ が得られます。

計算例

$x = 2$、$n = 1000$ とします。すると $\log_{10}(2^{1000}) = 1000 \times 0.301029995664 = 301.029995664$ です。したがって $e = 301$、$m = 10^{0.029995664} \approx 1.071508607$ となります。よって $2^{1000} \approx 1.071508607 \times 10^{301}$ であり、桁数は $301 + 1 = 302$ 桁です。