向量分量計算器

輸入計算

大小 (r)

角度 (θ)

角度單位 度 弧度

結果

向量分量

(8.6603, 5)

x 與 y 分量

x 分量	8.660254
y 分量	5
大小 (r)	10
角度（度）	30

什麼是向量分量計算器？

這個工具能將以極座標形式（大小與方向角）表示的二維向量，拆解成直角座標下的 x 與 y 分量。在物理、工程、導航與電腦繪圖等領域中，每當需要把力、速度或位移分解到互相垂直的兩個座標軸時，都會用到這項計算。

使用方法

先輸入向量的大小（也就是它的長度 \(r\)）與方向角（\(\theta\)），再選擇角度是以「度」還是「弧度」為單位，即可讀出 x 與 y 分量。角度是從正 x 軸開始、逆時針方向量測，這也是數學上的標準慣例。

公式解析

一個長度為 \(r\)、指向角度 \(\theta\) 的向量，投影到兩個座標軸上的結果為：

$$x = \text{r} \cos\!\left(\theta\right) \quad \text{以及} \quad y = \text{r} \sin\!\left(\theta\right)$$

餘弦（cos）代表落在水平軸上的長度比例，正弦（sin）則代表落在垂直軸上的長度比例。這兩個互相垂直的分量重新組合後，就會還原成原本的向量——同時也符合畢氏定理：\(\sqrt{x^2 + y^2} = r\)。

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向量的大小 \(r\) 和角度 \(\theta\) 可分解為分量 \(x = \text{r} \cos\!\left(\theta\right)\) 和 \(y = \text{r} \sin\!\left(\theta\right)\)。

範例演算

假設有一個力，大小 \(r = 10\ \text{N}\)，方向角 \(\theta = 30°\)。則

$$x = 10 \cos(30°) = 10 \cdot 0.86603 \approx 8.6603\ \text{N}$$$$y = 10 \sin(30°) = 10 \cdot 0.5 = 5\ \text{N}$$

因此這個力向量約為 \((8.66,\ 5.00)\)。

例題：大小為 10、角度 30° 的向量得出 \(x \approx 8.66\)、\(y = 5\)。

常見問題

角度是從哪個方向開始量測的？ 從正 x 軸開始、以逆時針方向量測（數學上的標準慣例）。

可以使用弧度嗎？ 可以——把角度單位切換成「弧度」即可。例如 \(\theta = \pi/2 \approx 1.5708\) 時，\(x = 0\)、\(y = r\)。

如果角度是負數或超過 360° 怎麼辦？ 三角函數能處理任何角度，因此負角度與超過一圈的大角度都沒問題，它們會自動沿著圓周循環換算。