この計算ツールでできること
「3次元空間における2点間の距離計算ツール」は、3次元の直交座標空間にある任意の2点間の直線距離（ユークリッド距離）を求めるツールです。各点のX・Y・Z座標を入力すると、距離を小数第6位まで表示し、あわせて途中の計算過程も示します。入力する値は単位のない座標として扱われるため、結果として得られる距離の単位は、入力に想定した単位（メートル、フィート、ピクセルなど）と同じになります。
使い方
1点目の座標を X1・Y1・Z1 の欄に、2点目の座標を X2・Y2・Z2 の欄に入力します。6つの値はすべて、正の数・負の数・整数・小数のいずれでも構いません。「計算する」を押すと、強調表示された結果欄に距離が表示されます。各座標の差は2乗されるため、2点を入力する順番は結果に影響しません。
距離の公式の解説
3次元の距離の公式は、ピタゴラスの定理を3つの軸に拡張したものです。
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
各軸ごとに座標の差を求め、その差をそれぞれ2乗し（これにより符号が消えます）、3つの2乗を足し合わせ、その和の平方根をとります。距離は常に0以上の値になり、2点が完全に一致するときだけ0になります。なお、2次元の距離を求めたい場合は、両方のZの値を同じ（たとえばどちらも0）にすればOKです。
計算例
点 (7, 4, 3) と (17, 6, 2) の場合、各軸の差は 10、2、-1 となります。それらの2乗は 100、4、1 で、合計は 105。よって距離は \(\sqrt{105} = 10.246951\) です。もう一つの例として、点 (5, 6, 2) と (-7, 11, -13) では、差が -12、5、-15、2乗が 144、25、225、合計が 394 となり、\(d = \sqrt{394} = 19.849433\) になります。
定義と用語集
以下の用語は、3次元空間における2つの点間の直線距離を計算するときに使用される概念と変数を説明しています。
- ユークリッド距離 — 2つの点間の直線距離（最短距離）。軸に沿うか、曲がった経路ではなく、空間を「カラスが飛ぶように」測定されます。3Dでは、\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)で与えられます。
- デカルト座標系 — 3つの相互に垂直な軸（X、Y、Z）から符号付き距離を使用して点を位置決めするシステム。これらの軸は原点\((0,0,0)\)で交わります。点は順序付けられた組\((x, y, z)\)として書かれます。
- \(x_1, y_1, z_1\) — 第1の点\(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\)のX、Y、Z座標。
- \(x_2, y_2, z_2\) — 第2の点\(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\)のX、Y、Z座標。
- デルタ（\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)） — 2つの点間の各座標の変化、または差：\(\Delta x = x_2 - x_1\)、\(\Delta y = y_2 - y_1\)、\(\Delta z = z_2 - z_1\)。各デルタは2乗されるため、減算の順序（したがって符号）は最終的な距離に影響しません。
- 空間対角線 — 長方形の箱（直方体）を通る最長の直線で、対角の隅の間を走ります。箱の辺の長さが\(\Delta x\)、\(\Delta y\)、\(\Delta z\)の場合、その空間対角線は3D距離\(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)に等しい — これはこの計算機が返す値そのものです。
- ピタゴラスの定理との関係 — 3D距離公式はピタゴラスの定理を2回適用したものです。まず、X-Y基底平面を横切る対角線は\(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)です。その対角線と垂直方向のオフセット\(\Delta z\)を第2の直角三角形の2つの辺として扱うと、\(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)となります。3D距離はまたベクトル\(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\)の大きさです。
異なる点のペア間の距離
以下の表は、公式\(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\)を通じて、いくつかの代表的な点のペアを計算します。各行は軸ごとの差、それらの2乗の合計、および結果の距離をリストします。一致する点は距離0をもたらすこと、および負の座標は各デルタが2乗されるため正の距離を生成することに注意してください。
| シナリオ | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | 平方の合計 | 距離 \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 軸方向に並んだ（Xのみ） | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| 軸方向に並んだ（Zのみ） | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| 単位立方体の対角線 | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| 整然としたピタゴラスの三つ組 | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| 一般的な対角線 | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| 負数を含む | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| 一致する点 | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
「一般的な対角線」行では、完全な代入は\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\)です。
よくある質問
2点を入力する順番で結果は変わりますか？ 変わりません。各座標の差は2乗されるため、2点を入れ替えても得られる距離は同じです。
答えの単位は何ですか？ 結果の単位は、座標に使った単位と同じです。このツールは単位の変換は行いません。
負の座標は使えますか？ 使えます。6つの値すべてで、負の整数・小数に完全対応しています。
