Bu Araç Ne İşe Yarar?
3D İki Nokta Arası Mesafe Hesaplama aracı, üç boyutlu Kartezyen uzaydaki herhangi iki nokta arasındaki düz çizgi (Öklid) mesafesini bulur. Her iki noktanın X, Y ve Z koordinatlarını girdiğinizde araç, mesafeyi altı ondalık basamağa kadar gösterir ve ara işlem adımlarını da listeler. Koordinatlar birimsiz değerler olduğundan, çıkan mesafe girdileriniz için hangi birimi varsaydığınıza bağlıdır (metre, feet, piksel vb.).
Nasıl Kullanılır?
Birinci noktanın koordinatlarını X1, Y1, Z1 alanlarına, ikinci noktanınkileri ise X2, Y2, Z2 alanlarına yazın. Altı değerin tamamı pozitif, negatif, tam sayı ya da ondalıklı olabilir. Hesapla'ya basın ve sonucu vurgulanan kutudan okuyun. Her fark karesi alındığı için noktaların hangi sırada girildiği sonucu değiştirmez.
Formülün Açıklaması
3D mesafe formülü, Pisagor teoremini üç eksene genişletir:
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Her eksen boyunca farkı alır, her farkın karesini (işareti ortadan kaldırarak) hesaplar, üç kareyi toplar ve bu toplamın karekökünü alırsınız. Mesafe her zaman sıfır veya pozitiftir; yalnızca iki nokta tam olarak çakıştığında sıfır olur. Bunun yerine 2 boyutlu bir mesafe hesaplamak isterseniz her iki Z değerini eşit yapın (örneğin ikisini de 0).
Çözümlü Örnek
(7, 4, 3) ve (17, 6, 2) noktaları için farklar 10, 2 ve -1'dir. Bunların kareleri 100, 4 ve 1 olup toplamı 105'tir. Mesafe \(\sqrt{105} = 10.246951\) olur. İkinci bir örnek olarak (5, 6, 2) ve (-7, 11, -13) noktalarında farklar -12, 5, -15; kareler 144, 25, 225; toplam 394 olur ve $$d = \sqrt{394} = 19.849433$$ çıkar.
Tanımlar ve Sözlük
Aşağıdaki terimler, üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki doğru çizgi mesafesini hesaplarken kullanılan kavramları ve değişkenleri açıklamaktadır.
- Öklid mesafesi — İki nokta arasındaki doğru çizgi (en kısa) mesafe, eksenler boyunca veya eğri bir yol yerine "kargaya uçan" şekilde uzay içinde ölçülür. 3B'de \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\) ile verilir.
- Kartezyen koordinatları — Bir noktayı, orijinde buluşan üç birbirine dik eksen (X, Y, Z) arasındaki işaretli mesafelerle lokalize eden bir sistem \((0,0,0)\). Bir nokta sıralı üçlü \((x, y, z)\) şeklinde yazılır.
- \(x_1, y_1, z_1\) — Birinci noktanın X, Y ve Z koordinatları, \(P_1 = (x_1, y_1, z_1)\).
- \(x_2, y_2, z_2\) — İkinci noktanın X, Y ve Z koordinatları, \(P_2 = (x_2, y_2, z_2)\).
- Delta (\(\Delta x, \Delta y, \Delta z\)) — İki nokta arasındaki her koordinattaki değişim veya fark: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\) ve \(\Delta z = z_2 - z_1\). Her delta karesinin alındığı için, çıkarmanın sırası (ve dolayısıyla işaret) son mesafeyi etkilemez.
- Uzay köşegeni — Dikdörtgen bir kutu (küboid) içindeki en uzun doğru çizgi, zıt köşeleri arasında uzanır. Bir kutunun kenar uzunlukları \(\Delta x\), \(\Delta y\) ve \(\Delta z\) ise, uzay köşegeni 3B mesafesine eşittir \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) — bu hesaplayıcının döndürdüğü değerin tam olarak katıdır.
- Pisagor teoremine ilişki — 3B mesafe formülü, Pisagor teoreminin iki kez uygulanmasıdır. Önce X-Y taban düzlemi üzerindeki köşegen \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\) şeklindedir. Bu köşegeni ve dikey sapma \(\Delta z\)'yi ikinci bir dik üçgenin iki tarafı olarak kullanmak \(d = \sqrt{\left(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\right)^2 + \Delta z^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) verir. 3B mesafe ayrıca vektör \(\langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle\)'nın büyüklüğüdür.
Farklı Nokta Çiftleri Arasındaki Mesafe
Aşağıdaki tablo, \(d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}\) formülü vasıtasıyla birkaç temsili nokta çiftini ele alır. Her satır, eksen başına farkları, kareleri toplamı ve sonuç mesafeyi listeler. Çakışan noktaların sıfır mesafe vermesine ve negatif koordinatların yine de pozitif bir mesafe üretmesine dikkat edin, çünkü her delta kare alınır.
| Senaryo | \(P_1\) | \(P_2\) | \(\Delta x\) | \(\Delta y\) | \(\Delta z\) | Karelerin toplamı | Mesafe \(d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Eksen hizalı (yalnızca X) | (0, 0, 0) | (5, 0, 0) | 5 | 0 | 0 | 25 | 5 |
| Eksen hizalı (yalnızca Z) | (2, 3, 1) | (2, 3, 9) | 0 | 0 | 8 | 64 | 8 |
| Birim küp köşegeni | (0, 0, 0) | (1, 1, 1) | 1 | 1 | 1 | 3 | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
| Temiz Pisagor üçlüsü | (0, 0, 0) | (1, 2, 2) | 1 | 2 | 2 | 9 | 3 |
| Genel köşegen | (1, 2, 3) | (4, 6, 15) | 3 | 4 | 12 | 169 | 13 |
| Negatif değerli | (-2, -3, -1) | (1, 1, -1) | 3 | 4 | 0 | 25 | 5 |
| Çakışan noktalar | (7, -4, 2) | (7, -4, 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
"Genel köşegen" satırı için, tam ikame \(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (15-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) şeklindedir.
Sıkça Sorulan Sorular
Noktaların sırası sonucu değiştirir mi? Hayır. Her koordinat farkının karesi alındığı için iki noktanın yerini değiştirmek aynı mesafeyi verir.
Sonuç hangi birimdedir? Sonuç, koordinatlar için kullandığınız birimle aynıdır; araç herhangi bir birim dönüşümü yapmaz.
Negatif koordinat kullanabilir miyim? Evet. Altı değerin tamamında negatif tam sayılar ve ondalıklar tam olarak desteklenir.
