चार भुजाओं से समलंब की ऊँचाई और क्षेत्रफल

गणना दर्ज करें

a: Top base

c: Bottom base

b: Slant side (leg)

d: Slant side (leg)

परिणाम

h: Height

8

लंबाई की इकाइयाँ (समानांतर भुजाओं के बीच लंबवत दूरी)

S: Area	156 unit²

यह कैलकुलेटर क्या करता है

जब आपको समलंब चतुर्भुज (trapezoid) की चारों भुजाएँ पता हों — दोनों समानांतर भुजाएँ (a, ऊपरी आधार; c, निचला आधार) और दोनों तिरछी भुजाएँ (b और d) — तब यह टूल उसकी लंबवत ऊँचाई (h) और क्षेत्रफल (S) निकाल देता है। यह पूरी तरह समतल ज्यामिति पर आधारित है और दुनिया में कहीं भी एक जैसा ही काम करता है। बस ध्यान रखें कि हर भुजा की लंबाई एक ही इकाई में हो — क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।

इसका उपयोग कैसे करें

ऊपरी आधार a, निचला आधार c, और दोनों तिरछी भुजाएँ b व d दर्ज करें। फिर "गणना करें" पर क्लिक करें। कैलकुलेटर समानांतर भुजाओं के बीच की ऊँचाई और कुल क्षेत्रफल दिखा देगा। परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आप किस भुजा को b कहते हैं और किसे d — दोनों को आपस में बदल देने पर भी उत्तर वही रहता है।

सूत्र की व्याख्या

कल्पना करें कि दोनों तिरछी भुजाओं को एक किनारे पर खिसकाकर पास ले आया जाए। लंबे आधार का छोटे आधार से बाहर निकला हुआ कुल "ओवरहैंग" (बढ़ाव) \(p = |c - a|\) होता है। यह बढ़ाव दोनों तिरछी भुजाओं b और d के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाता है। उस त्रिभुज का शीर्षलंब (altitude) ही समलंब की ऊँचाई देता है।

मान लीजिए x भुजा d का क्षैतिज प्रक्षेपण (horizontal projection) है। तब \(d^2 = h^2 + x^2\) और \(b^2 = h^2 + (p - x)^2\) होता है। इन्हें घटाने पर $$x = \frac{d^2 - b^2 + p^2}{2p}$$ मिलता है, और $$h = \sqrt{d^2 - x^2}.$$ अंत में समलंब का मानक क्षेत्रफल सूत्र है $$S = \frac{a + c}{2}\cdot h.$$

समलंब चतुर्भुज की दो समानांतर भुजाएँ (a, c), तिरछी भुजाएँ (b, d), लंबवत ऊँचाई h, और सूत्र में प्रयुक्त क्षैतिज विस्थापन x।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(a = 9\), \(c = 30\), \(b = 17\), \(d = 10\)। तब \(p = |30 - 9| = 21\), और $$x = \frac{100 - 289 + 441}{2\cdot 21} = \frac{252}{42} = 6.$$ ऊँचाई $$h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8.$$ क्षेत्रफल $$S = \frac{9 + 30}{2}\times 8 = 19.5 \times 8 = 156.$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

कभी-कभी "कोई हल नहीं" क्यों दिखता है? चारों भुजाओं को p, b और d पर त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का पालन करना होता है — यानी हर भुजा बाकी दो के योग से छोटी होनी चाहिए। अगर ऐसा नहीं होता, तो उन लंबाइयों से कोई समलंब बन ही नहीं सकता।

अगर दोनों समानांतर भुजाएँ बराबर हों तो? तब \(p = 0\) हो जाता है और आकृति एक समांतर चतुर्भुज (parallelogram) बन जाती है, जो दृढ़ (rigid) नहीं होती — सिर्फ़ भुजाओं की लंबाई से उसकी ऊँचाई तय नहीं की जा सकती, इसलिए कैलकुलेटर "निर्धारित नहीं किया जा सकता" बताता है।

क्या इकाई से फ़र्क पड़ता है? नहीं। कोई भी एक समान इकाई इस्तेमाल करें; ऊँचाई उसी इकाई में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आएगा।