네 변의 길이로 구하는 사다리꼴 높이와 넓이

계산 입력

a: Top base

c: Bottom base

b: Slant side (leg)

d: Slant side (leg)

결과

h: Height

8

길이 단위 (평행한 두 변 사이의 수직 거리)

S: Area	156 unit²

이 계산기로 할 수 있는 일

이 도구는 사다리꼴의 네 변 길이를 모두 알고 있을 때 수직 높이(h)와 넓이(S)를 구해 줍니다. 입력하는 네 변은 평행한 두 변(윗변 a, 아랫변 c)과 비스듬한 두 빗변(b, d)입니다. 순수 평면 기하 계산이므로 어디에서나 똑같이 적용됩니다 — 모든 길이를 같은 단위로만 맞춰 주면 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.

사용 방법

윗변 a, 아랫변 c, 그리고 두 빗변 b와 d를 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 평행한 두 변 사이의 높이와 전체 넓이가 출력됩니다. 어느 빗변을 b라 하고 어느 쪽을 d라 부르든 결과는 같습니다 — 둘을 바꿔 넣어도 답은 동일합니다.

공식 풀이

두 빗변을 한쪽으로 모아 붙인다고 생각해 보세요. 긴 변이 짧은 변보다 튀어나온 부분의 가로 폭은 모두 합쳐 \(p = |c - a|\)가 됩니다. 이 폭과 두 빗변 b, d가 함께 하나의 삼각형을 이루고, 그 삼각형의 높이가 곧 사다리꼴의 높이입니다.

빗변 d의 가로 방향 투영 길이를 x라 하면 \(d^{2} = h^{2} + x^{2}\), \(b^{2} = h^{2} + (p - x)^{2}\)가 성립합니다. 두 식을 빼면 $$x = \frac{d^{2} - b^{2} + p^{2}}{2p}$$ 그리고 $$h = \sqrt{d^{2} - x^{2}}$$ 를 얻습니다. 마지막으로 사다리꼴의 표준 넓이 공식 $$S = \frac{a + c}{2}\times h$$ 를 적용합니다.

사다리꼴의 두 평행한 변(a, c), 빗변(b, d), 수직 높이 h, 그리고 공식에 쓰이는 수평 오프셋 x.

예제로 확인하기

\(a = 9\), \(c = 30\), \(b = 17\), \(d = 10\)이라고 해봅시다. 그러면 \(p = |30 - 9| = 21\)이고, $$x = \frac{100 - 289 + 441}{2\cdot 21} = \frac{252}{42} = 6$$ 입니다. 높이는 $$h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ 이 됩니다. 넓이는 $$S = \frac{9 + 30}{2}\times 8 = 19.5 \times 8 = 156$$ 입니다.

자주 묻는 질문

왜 가끔 "해 없음"이라고 나오나요? 네 변은 p, b, d에 대한 삼각부등식을 만족해야 합니다(각 변이 나머지 두 변의 합보다 짧아야 함). 이 조건이 깨지면 그 길이들로는 어떤 사다리꼴도 만들 수 없습니다.

평행한 두 변의 길이가 같으면 어떻게 되나요? 그 경우 \(p = 0\)이 되어 도형은 평행사변형이 됩니다. 평행사변형은 형태가 고정되지 않아(비틀어질 수 있어) 변의 길이만으로는 높이를 결정할 수 없으므로, 계산기는 "높이를 구할 수 없음"으로 표시합니다.

단위가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 일관된 단위라면 무엇이든 사용할 수 있습니다. 높이는 그 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.