사다리꼴 미지의 변과 넓이 계산기 (세 변과 높이 이용)

계산 입력

모드 윗변 또는 아랫변 구하기 빗변 구하기

h: 높이

a 또는 c: 윗변이나 아랫변 중 하나

b: 빗변

d: 빗변

a: 윗변

c: 아랫변

b 또는 d: 빗변 중 하나

결과

나머지 밑변 (a 또는 c)

30

길이 단위

넓이	156 (length units²)

이 계산기로 할 수 있는 일

사다리꼴은 서로 평행한 두 변, 즉 윗변 a와 아랫변 c가 수직 높이 h만큼 떨어져 있고, 여기에 두 개의 빗변 b와 d가 비스듬히 연결된 도형입니다. 이 도구는 네 변 중 세 변과 높이를 입력하면 나머지 한 변을 구해 주고, 동시에 사다리꼴의 넓이까지 계산해 줍니다. 단위에 구애받지 않는 범용 기하 도구로, 모든 길이는 같은 단위를 쓰며 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.

사용 방법

먼저 모드를 고릅니다. 윗변 또는 아랫변 구하기 모드에서는 알고 있는 밑변 하나, 두 빗변 b와 d, 그리고 높이를 입력하면 나머지 밑변과 넓이가 나옵니다. 빗변 구하기 모드에서는 두 밑변 a와 c, 알고 있는 빗변 하나, 그리고 높이를 입력하면 나머지 빗변과 넓이가 계산됩니다. 높이는 두 모드 모두에서 반드시 필요하며 0보다 커야 하므로 가장 먼저 입력하세요.

공식 풀이

길이가 s인 빗변은 수평으로 \(\text{run}(s) = \sqrt{s^{2} - h^{2}}\)만큼 뻗어 나갑니다. 두 밑변이 도형을 닫아 주므로 \(c = a + \text{run}(b) + \text{run}(d)\) 관계가 성립합니다. 빠진 빗변을 구하려면 남은 수평 거리 \(R = (c - a) - \text{run}(\text{아는 빗변})\)을 먼저 구하고, 빠진 빗변은 \(\sqrt{R^{2} + h^{2}}\)가 됩니다. 두 밑변을 모두 알면 넓이는 언제나 $$\text{Area} = \frac{a + c}{2}\cdot h$$로 계산됩니다.

각 빗변이 수평 길이를 만들므로 c = a + 두 밑변의 어긋난 부분.

사다리꼴의 각 부분: 평행한 밑변 a와 c, 빗변 b와 d, 높이 h.

예제로 보기

\(h = 8\), 아는 밑변 \(a = 9\), 빗변 \(b = 17\)과 \(d = 10\)일 때를 보겠습니다. \(\text{run}(b) = \sqrt{289 - 64} = 15\), \(\text{run}(d) = \sqrt{100 - 64} = 6\)이므로 나머지 밑변 \(c = 9 + 15 + 6 = 30\)입니다. $$\text{Area} = \frac{9 + 30}{2}\cdot 8 = 156$$이 됩니다.

자주 묻는 질문

왜 각 빗변은 높이보다 짧으면 안 되나요? 빗변이 수직 높이보다 짧으면 그 높이를 가로질러 닿을 수 없으므로 \(\sqrt{\text{빗변}^{2} - h^{2}}\)이 실수가 되지 않습니다. 빗변이 정확히 \(h\)와 같다면 그 빗변은 수직이 되어 수평 거리가 0이 되는데, 이것이 바로 직각사다리꼴입니다.

빗변이 기운 방향에 따라 넓이가 달라지나요? 아닙니다. \(h\)가 평행한 두 밑변 사이의 진짜 수직 거리이기만 하다면, 빗변이 어떻게 기울든 넓이는 항상 \(\frac{a + c}{2}\cdot h\)입니다.

기하학적으로 불가능한 경우엔 어떻게 되나요? 빗변 구하기 모드에서 남은 수평 거리가 음수로 나오면, 입력한 밑변·빗변·높이로는 사다리꼴을 만들 수 없으므로 계산기가 오류를 알려 줍니다.