ما هو الانحراف المعياري المجمّع؟
الانحراف المعياري المجمّع (Sp) هو متوسط مرجَّح لانحرافين معياريين لعيّنتين، يُدمجان في تقدير واحد للانحراف المعياري المشترك للمجتمع. ويُستخدم عندما نفترض أن العيّنتين المستقلّتين مأخوذتان من مجتمعين يتشاركان التباين نفسه. ويُعدّ هذا التقدير المجمّع عنصرًا محوريًا في اختبار t للعيّنتين، وفي حجم الأثر Cohen's d، وفي فترات الثقة للفرق بين متوسّطين.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل حجم كل عيّنة (\(n_1\) و \(n_2\)) والانحراف المعياري لكل منهما (\(s_1\) و \(s_2\)). تُرجع لك الحاسبة الانحراف المعياري المجمّع، والتباين المجمّع (\(S_p^2\))، ودرجات الحرية (\(n_1 + n_2 - 2\)). ويجب أن تحتوي كل عيّنة على ملاحظتين على الأقل حتى تبقى درجات الحرية موجبة.
شرح المعادلة
يرجّح التباين المجمّع تباين كل عيّنة وفق درجات حريتها (\(n - 1\)):
$$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)\,s_1^{2} + (n_2 - 1)\,s_2^{2}}{n_1 + n_2 - 2}$$
وبأخذ الجذر التربيعي نحصل على الانحراف المعياري المجمّع \(S_p\). وكلما كبر حجم العيّنة زاد إسهامها في التقدير المجمّع، ولهذا تُرجَّح التباينات بدل حساب متوسّطها بشكل بسيط.
مثال تطبيقي
لنفترض أن العيّنة الأولى لها \(n_1 = 10\) و \(s_1 = 5\)، والعيّنة الثانية لها \(n_2 = 12\) و \(s_2 = 6\). عندئذٍ \((10-1)\cdot 25 = 225\) و\((12-1)\cdot 36 = 396\)، ومجموعهما \(621\). ودرجات الحرية هي \(10 + 12 - 2 = 20\)، فيكون \(S_p^2 = 621 / 20 = 31.05\) و \(S_p = \sqrt{31.05} \approx 5.5722\).
الأسئلة الشائعة
متى ينبغي تجميع الانحرافات المعيارية؟ جمّعها عندما يُفترض أن للمجموعتين تباينين متساويين في المجتمع. أما إذا اختلف التباينان اختلافًا كبيرًا، فاستخدم اختبار Welch لـ t بدلًا من ذلك.
لماذا نستخدم \(n - 1\) بدل \(n\)؟ لأن استخدام \(n - 1\) (تصحيح بيسل) يعطي تقديرًا غير متحيّز للتباين انطلاقًا من العيّنة.
هل يهمّ ترتيب العيّنتين؟ لا. فتبديل العيّنتين ينتج عنه الانحراف المعياري المجمّع نفسه.
