Qu'est-ce que l'écart-type combiné ?
L'écart-type combiné (Sp), parfois appelé écart-type groupé ou poolé, est une moyenne pondérée des écarts-types de deux échantillons, réunis en une seule estimation de l'écart-type commun de la population. On l'utilise lorsqu'on suppose que deux échantillons indépendants proviennent de populations partageant la même variance. Cette estimation combinée est au cœur du test t à deux échantillons, de la taille d'effet d de Cohen et des intervalles de confiance portant sur la différence entre deux moyennes.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'effectif de chaque échantillon (\(n_1\) et \(n_2\)) ainsi que l'écart-type de chacun (\(s_1\) et \(s_2\)). Le calculateur renvoie l'écart-type combiné, la variance combinée (\(S_p^2\)) et le nombre de degrés de liberté (\(n_1 + n_2 - 2\)). Chaque échantillon doit compter au moins deux observations afin que les degrés de liberté restent positifs.
La formule expliquée
La variance combinée pondère la variance de chaque échantillon par son nombre de degrés de liberté (\(n - 1\)) :
$$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)\,s_1^{2} + (n_2 - 1)\,s_2^{2}}{n_1 + n_2 - 2}$$
En extrayant la racine carrée, on obtient l'écart-type combiné, \(S_p\). Les échantillons de grande taille pèsent davantage dans l'estimation combinée : c'est pourquoi les variances sont pondérées plutôt que simplement moyennées.
Exemple résolu
Supposons que l'échantillon 1 ait \(n_1 = 10\) et \(s_1 = 5\), et que l'échantillon 2 ait \(n_2 = 12\) et \(s_2 = 6\). On obtient alors \((10-1)\cdot 25 = 225\) et \((12-1)\cdot 36 = 396\), soit une somme de \(621\). Les degrés de liberté valent \(10 + 12 - 2 = 20\), d'où $$S_p^2 = \frac{621}{20} = 31{,}05 \quad\text{et}\quad S_p = \sqrt{31{,}05} \approx 5{,}5722.$$
FAQ
Quand faut-il combiner les écarts-types ? Combinez-les lorsque l'on suppose que les deux groupes ont des variances de population égales. Si les variances diffèrent fortement, préférez le test t de Welch.
Pourquoi utiliser \(n - 1\) plutôt que \(n\) ? L'emploi de \(n - 1\) (correction de Bessel) fournit une estimation sans biais de la variance à partir d'un échantillon.
L'ordre des échantillons a-t-il une importance ? Non. Intervertir les deux échantillons donne exactement le même écart-type combiné.
