プールされた標準偏差とは？
プールされた標準偏差（Sp）とは、2つの標本標準偏差を加重平均し、共通する母標準偏差の推定値として1つにまとめたものです。独立した2つの標本が「同じ分散をもつ母集団」から得られたと仮定できる場合に用います。この推定値は、2標本のt検定、効果量を表すCohenのd、そして2つの平均値の差に関する信頼区間の計算において中心的な役割を果たします。
このツールの使い方
各標本のサンプルサイズ（\(n_1\) と \(n_2\)）と、それぞれの標準偏差（\(s_1\) と \(s_2\)）を入力してください。プールされた標準偏差に加えて、プール分散（\(S_p^2\)）と自由度（\(n_1 + n_2 - 2\)）が算出されます。自由度を正の値に保つため、各標本には少なくとも2つ以上の観測値が必要です。
計算式の解説
プール分散は、各標本の分散をその自由度（\(n - 1\)）で重み付けして求めます。
$$S_p^2 = \frac{(n_1-1)\cdot s_1^2 + (n_2-1)\cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$
この値の平方根をとると、プールされた標準偏差 \(S_p\) が得られます。サンプルサイズが大きい標本ほど推定値への寄与が大きくなります。これが、単純な平均ではなく加重平均を用いる理由です。
計算例
標本1が \(n_1 = 10\)、\(s_1 = 5\)、標本2が \(n_2 = 12\)、\(s_2 = 6\) だとします。このとき \((10-1)\cdot 25 = 225\)、\((12-1)\cdot 36 = 396\) となり、合計は 621 です。自由度は \(10 + 12 - 2 = 20\) なので、$$S_p^2 = \frac{621}{20} = 31.05, \quad S_p = \sqrt{31.05} \approx 5.5722$$ となります。
よくある質問
どんなときに標準偏差をプールすべきですか？ 2つのグループの母分散が等しいと仮定できる場合にプールします。分散が大きく異なる場合は、代わりにウェルチのt検定を使いましょう。
なぜ n ではなく n − 1 を使うのですか？ \(n - 1\)（ベッセルの補正）を用いることで、標本から母分散の不偏推定量が得られるためです。
標本の順番は結果に影響しますか？ いいえ。2つの標本を入れ替えても、プールされた標準偏差は同じ値になります。
