Что такое объединённое стандартное отклонение?
Объединённое стандартное отклонение (Sp) — это взвешенное среднее двух выборочных стандартных отклонений, сведённое в единую оценку общего стандартного отклонения генеральной совокупности. Его применяют, когда предполагается, что две независимые выборки взяты из совокупностей с одинаковой дисперсией. Объединённая оценка лежит в основе двухвыборочного t-критерия Стьюдента, размера эффекта d Коэна и доверительных интервалов для разности двух средних.
Как пользоваться калькулятором
Введите объём каждой выборки (\(n_1\) и \(n_2\)) и стандартное отклонение каждой выборки (\(s_1\) и \(s_2\)). Калькулятор вернёт объединённое стандартное отклонение, объединённую дисперсию (\(S_p^2\)) и число степеней свободы (\(n_1 + n_2 - 2\)). В каждой выборке должно быть не менее двух наблюдений, чтобы число степеней свободы оставалось положительным.
Разбор формулы
Объединённая дисперсия взвешивает дисперсию каждой выборки по её числу степеней свободы (\(n - 1\)):
$$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)\,s_1^{2} + (n_2 - 1)\,s_2^{2}}{n_1 + n_2 - 2}$$Извлечение квадратного корня даёт объединённое стандартное отклонение \(S_p\). Чем больше выборка, тем сильнее её вклад в итоговую оценку — именно поэтому дисперсии взвешиваются, а не просто усредняются.
Пример расчёта
Допустим, у первой выборки \(n_1 = 10\) и \(s_1 = 5\), а у второй — \(n_2 = 12\) и \(s_2 = 6\). Тогда \((10-1)\cdot 25 = 225\) и \((12-1)\cdot 36 = 396\), в сумме 621. Число степеней свободы равно \(10 + 12 - 2 = 20\), поэтому $$S_p^2 = \frac{621}{20} = 31{,}05, \quad S_p = \sqrt{31{,}05} \approx 5{,}5722$$
Частые вопросы
Когда стоит объединять стандартные отклонения? Объединяйте их, когда предполагается, что дисперсии в двух совокупностях равны. Если дисперсии сильно различаются, используйте t-критерий Уэлча.
Почему \(n - 1\), а не \(n\)? Деление на \(n - 1\) (поправка Бесселя) даёт несмещённую оценку дисперсии по выборке.
Важен ли порядок выборок? Нет. Если поменять выборки местами, объединённое стандартное отклонение останется тем же.
