Qu'est-ce que le calculateur de décroissance exponentielle ?
Le calculateur de décroissance exponentielle estime la part d'une quantité qui subsiste après une certaine durée, lorsque cette quantité diminue d'un pourcentage fixe à chaque période. La décroissance exponentielle décrit tout ce qui perd une fraction constante de sa valeur au fil du temps, plutôt qu'une quantité fixe. On la retrouve par exemple dans les isotopes radioactifs, le refroidissement d'un objet, la concentration d'un médicament dans le sang, l'amortissement d'un actif ou encore l'érosion progressive d'une base de clients. Cet outil convient à toutes ces situations, car le principe mathématique reste le même.
Comment l'utiliser
- Valeur initiale (\(N_0\)) : saisissez la quantité de départ — grammes, euros, utilisateurs ou toute autre unité.
- Taux de décroissance (\(r\)) : indiquez le pourcentage perdu à chaque période (par exemple 5 % par an).
- Temps (\(t\)) : entrez le nombre de périodes écoulées, en conservant la même unité de temps que pour votre taux.
Le calculateur renvoie la quantité restante dans la même unité que celle de départ. Veillez à harmoniser les unités du taux et du temps : si le taux est annuel, le temps doit aussi être exprimé en années.
La formule expliquée
Le calculateur s'appuie sur l'équation classique de la décroissance exponentielle :
$$N(t) = N_0 \times (1 - r)^{t}$$
- \(N(t)\) = quantité restante après le temps \(t\)
- \(N_0\) = quantité initiale
- \(r\) = taux de décroissance exprimé en décimale (5 % = 0,05)
- \(t\) = temps écoulé, en nombre de périodes
À chaque période, la quantité précédente est multipliée par \((1 - r)\) : la baisse se compose donc d'elle-même. Les pertes diminuent en valeur absolue à mesure que la base se réduit, mais le pourcentage, lui, reste constant.
Exemple concret
Imaginons une machine d'une valeur de 20 000 $ qui se déprécie de 12 % par an. Au bout de 4 ans :
$$N(4) = 20\,000 \times (1 - 0{,}12)^{4} = 20\,000 \times (0{,}88)^{4} = 20\,000 \times 0{,}5997 \approx 11\,994\ \$$$
Il reste donc environ 11 994 $ de valeur après quatre ans.
FAQ
Quelle est la différence entre taux de décroissance et constante de décroissance ? Le taux de décroissance (\(r\)) utilisé ici correspond à un pourcentage par période. La constante de décroissance (\(\lambda\)), elle, intervient dans la formule continue \(N = N_0 e^{-\lambda t}\). Ce calculateur retient le modèle discret en pourcentage, plus simple à appréhender.
Puis-je l'utiliser pour des problèmes de demi-vie ? Oui. La demi-vie correspond simplement au moment où la quantité restante atteint 50 % de la valeur initiale. Ajustez votre taux et votre durée pour la modéliser, ou recourez à un outil dédié à la demi-vie pour un résultat direct.
Et si la valeur augmente au lieu de diminuer ? Utilisez alors un calculateur de croissance avec \((1 + r)\) au lieu de \((1 - r)\). Cet outil ne modélise que la diminution \((1 - r)\).
