ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقوم حاسبة الانحدار التربيعي الموزون بمطابقة كثير حدود من الدرجة الثانية، \(y = A + Bx + Cx^2\)، مع مجموعة من نقاط البيانات \((x, y)\) حيث قد تحمل كل نقطة تكرارًا أو وزنًا \(f\). هذه هي صيغة جدول التكرارات لطريقة المربعات الصغرى التربيعية: النقطة التي تتكرر \(f\) مرة تساهم \(f\) مرة في كل مجموع. وإذا جعلت كل التكرارات تساوي 1، تتحول العملية إلى انحدار تربيعي عادي (غير موزون). إنها رياضيات إحصائية بحتة تنطبق بالطريقة ذاتها في أي بلد أو مجال.
طريقة الاستخدام
أدخل نقطة بيانات واحدة في كل سطر بالصيغة x، y، f. التكرار \(f\) اختياري وقيمته الافتراضية 1 عند تركه فارغًا، لذا فإن 2, 5 تعني \(x=2\) و\(y=5\) بوزن 1. اختر عدد الأرقام المعنوية المطلوب عرضها (القيمة الافتراضية 10). تحتاج إلى 3 قيم مختلفة على الأقل للمتغير \(x\) حتى يكون المنحنى التربيعي محددًا بشكل وحيد. وتعرض الأداة المعاملات \(A\) و\(B\) و\(C\) ومعامل الارتباط المتعدد \(r\) للمطابقة.
شرح المعادلة
لنعتبر أن \(n = \Sigma f\) هو الوزن الكلي. احسب المتوسطات الموزونة \(\bar{x} = \Sigma xf/n\)، و\(\bar{y} = \Sigma yf/n\)، و\(\text{meanX2} = \Sigma x^2 f/n\). ثم كوّن المجاميع المركزية \(S_{xx}\) و\(S_{xy}\) و\(S_{xx^2}\) و\(S_{x^2x^2}\) و\(S_{x^2y}\)، وحُلّ النظام ذا البُعد \(2\times 2\) لإيجاد \(B\) و\(C\)، حيث المقام \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^2\):
$$\hat{y} = A + Bx + Cx^{2}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\,S_{x^2y}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{xx}\,S_{x^2y} - S_{xx^2}\,S_{xy}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$فيكون \(B = (S_{xy}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}\cdot S_{x^2y})/\text{denom}\) و\(C = (S_{xx}\cdot S_{x^2y} - S_{xx^2}\cdot S_{xy})/\text{denom}\). وأخيرًا \(A = \bar{y} - B\cdot \bar{x} - C\cdot \text{meanX2}\). أما معامل الارتباط فهو \(r = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\)، حيث SSE هو مجموع مربعات البواقي الموزون، وSST هو المجموع الكلي الموزون للمربعات.
مثال محلول
بيانات بكل التكرارات \(f = 1\): \((1,2)\)، \((2,3)\)، \((3,6)\)، \((4,11)\)، \((5,18)\). هنا \(n=5\) و\(\bar{x}=3\) و\(\bar{y}=8\) و\(\text{meanX2}=11\). تعطي المجاميع \(S_{xx}=10\) و\(S_{xy}=40\) و\(S_{xx^2}=60\) و\(S_{x^2x^2}=374\) و\(S_{x^2y}=254\)، و\(\text{denom} = 10\cdot 374 - 60^2 = 140\). ومن ثم \(B = (40\cdot 374 - 60\cdot 254)/140 = -2\)، و\(C = (10\cdot 254 - 60\cdot 40)/140 = 1\)، و\(A = 8 - (-2)(3) - 1\cdot 11 = 3\). وتعيد المطابقة \(y = 3 - 2x + x^2\) كل نقطة بدقة تامة، لذا \(\text{SSE} = 0\) و\(r = 1\).
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة عمود التكرار؟ هو الوزن (عدد المرات) للزوج \((x, y)\). فالصف الذي تكراره \(f = 4\) يُحسب كأربع ملاحظات متطابقة، وهذا مناسب للبيانات المُجمّعة أو المُجدولة.
لماذا أحتاج إلى 3 قيم مختلفة للمتغير x؟ للقطع المكافئ ثلاثة معاملات (\(A\) و\(B\) و\(C\)). وجود أقل من ثلاث قيم مختلفة للمتغير \(x\) يجعل النظام شاذًا والمطابقة غير محددة، فتُظهر الحاسبة عندئذٍ رسالة خطأ.
كيف يُفسَّر r؟ يتراوح \(r\) بين 0 و1. والقيمة فوق 0.7 تدل على مطابقة قوية، و0.4–0.7 متوسطة، و0.2–0.4 ضعيفة، وأقل من 0.2 تعني انعدامها تقريبًا.
