선형 회귀(최소제곱법) 계산기란?
이 도구는 여러 개의 (x, y) 데이터 점에 대해 최소제곱법(OLS, 보통최소제곱법)을 이용해 가장 잘 맞는 직선 \(y = A + B\cdot x\)를 찾아 줍니다. 결과로는 기울기 B, 절편 A, x와 y의 평균, 제곱합, 적합된 회귀식, 그리고 피어슨 상관계수 r을 함께 제공하며, 그 상관관계가 얼마나 강한지 알기 쉽게 한마디로 설명해 드립니다.
사용 방법
데이터 입력란에 한 줄에 하나씩 (x, y) 쌍을 입력하고, 쉼표나 공백으로 구분하세요 — 예: 1, 2. 빈 줄이나 값이 빠진 줄, 숫자가 아닌 셀은 무시됩니다. 직선을 정의하려면 유효한 데이터 쌍이 최소 2개 이상 필요합니다. 표시할 유효 자릿수를 선택한 뒤(이 설정은 표시 형식만 바꿀 뿐 계산 자체에는 영향을 주지 않습니다) 기울기, 절편, r 값을 확인하면 됩니다.
공식 설명
유효한 데이터 쌍이 \(n\)개일 때, 먼저 평균 \(\bar{x} = \sum x_i / n\), \(\bar{y} = \sum y_i / n\)을 구합니다. 그다음 제곱합과 교차곱합을 계산합니다: $$S_{xx} = \sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2, \quad S_{yy} = \sum y_i^2 - n\,\bar{y}^2, \quad S_{xy} = \sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}.$$ 기울기는 \(B = S_{xy}/S_{xx}\), 절편은 \(A = \bar{y} - B\,\bar{x}\), 상관계수는 \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\)입니다. 모든 x 값이 동일하면(\(S_{xx} = 0\)) 수직이 아닌 직선을 적합할 수 없습니다. 만약 \(S_{yy} = 0\)이면 r은 정의되지 않으며 0으로 표시됩니다.
계산 예시
데이터: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5), \(n = 5\). \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\) → \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\). \(\sum x^2 = 55\) → \(S_{xx} = 55 - 45 = 10\). \(\sum y^2 = 86\) → \(S_{yy} = 86 - 80 = 6\). \(\sum xy = 66\) → \(S_{xy} = 66 - 60 = 6\). 기울기 \(B = 6/10 = 0.6\), 절편 \(A = 4 - 0.6\cdot 3 = 2.2\), \(r = 6/\sqrt{60} \approx 0.7746\)(강한 상관). 적합 직선: $$y = 2.2 + 0.6\cdot x.$$
자주 묻는 질문
r은 무엇을 의미하나요? r은 피어슨 상관계수로, −1에서 +1 사이의 값을 가집니다. ±1에 가까울수록 강한 선형 관계를, 0에 가까울수록 선형 관계가 거의 없음을 뜻합니다. 대략적인 기준: \(|r| > 0.7\)이면 강함, 0.4~0.7이면 보통, 0.2~0.4이면 약함, 0.2 미만이면 거의 없음입니다.
모든 점이 수직으로 늘어서 있으면 어떻게 되나요? 모든 x 값이 같으면 \(S_{xx} = 0\)이 되어 최소제곱 직선을 적합할 수 없습니다. 이 경우 계산기는 오류를 표시합니다.
표시 자릿수 설정이 결과를 바꾸나요? 아니요. 이 설정은 표시되는 유효 숫자의 개수만 조절할 뿐이며, 회귀 계산은 항상 전체 정밀도로 수행됩니다.
