Калькулятор подмножеств

Введите расчет

Размер множества (n)

Размер подмножества (k) — необязательно

Результатов

Общее число подмножеств

32

= 2^5 (includes the empty set and the full set)

Непустые подмножества (2ⁿ − 1)	31
Subsets of size k = 2 — C(n,k)	10

Что такое калькулятор подмножеств?

Подмножество — это любой набор элементов, выбранный из более крупного множества, включая пустое множество и само исходное множество. Этот калькулятор отвечает на два классических вопроса комбинаторики: сколько всего подмножеств у множества из n элементов и сколько среди них содержат ровно k элементов. Инструмент пригодится школьникам и студентам, изучающим теорию множеств, вероятность и дискретную математику, а также всем, кому нужно посчитать возможные комбинации.

Множество из 3 элементов имеет \(2^3 = 8\) подмножеств, включая пустое множество и само множество.

Как пользоваться

Укажите размер множества в поле n (количество различных элементов). Калькулятор сразу покажет общее число подмножеств, равное \(2^n\), и число непустых подмножеств — \(2^n - 1\). При желании введите размер подмножества k, чтобы дополнительно узнать, сколько подмножеств содержат ровно k элементов; это число вычисляется через биномиальный коэффициент \(C(n, k)\). Если вам нужно только общее число, оставьте поле k пустым.

Разбор формулы

Каждый элемент множества можно либо включить в подмножество, либо нет — то есть по 2 варианта на каждый элемент. Для n независимых элементов общее количество равно

$$2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^n$$

Чтобы посчитать подмножества фиксированного размера k, используют формулу сочетаний

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$

она выбирает k элементов без учёта порядка. Если просуммировать \(C(n, k)\) по всем k от 0 до n, снова получится \(2^n\).

Реклама

Общее число подмножеств растёт как \(2^n\), а \(C(n,k)\) считает подмножества фиксированного размера k.

Пример расчёта

Пусть n = 5. Тогда общее число подмножеств равно \(2^5 = 32\), а количество непустых подмножеств — 31. Число подмножеств из 2 элементов равно

$$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$

То есть из множества в 5 элементов можно составить ровно 10 различных пар.

Частые вопросы

Входит ли пустое множество в общее число? Да. Значение \(2^n\) включает и пустое множество, и само исходное множество. Вычтите 1, чтобы получить число непустых подмножеств, или 2 — для собственных непустых подмножеств.

Что, если k больше n? Таких подмножеств не существует, поэтому \(C(n, k) = 0\) при \(k > n\) или \(k < 0\).

Почему максимум около 170? Значения \(2^n\) и факториалов растут чрезвычайно быстро; примерно после n = 170 они превышают диапазон, который способны представить стандартные числа с плавающей точкой.