सबसेट कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

समुच्चय का आकार (n)

सबसेट का आकार (k) — वैकल्पिक

परिणाम

कुल सबसेट की संख्या

32

= 2^5 (includes the empty set and the full set)

प्रॉपर / नॉन-एम्प्टी सबसेट (2ⁿ − 1)	31
Subsets of size k = 2 — C(n,k)	10

सबसेट कैलकुलेटर क्या है?

सबसेट (उपसमुच्चय) किसी बड़े समुच्चय में से चुने गए तत्वों का कोई भी समूह होता है — इसमें खाली समुच्चय और स्वयं पूरा समुच्चय भी शामिल हैं। यह कैलकुलेटर कॉम्बिनेटोरिक्स के दो आम सवालों का जवाब देता है: n तत्वों वाले समुच्चय के कुल कितने सबसेट होते हैं, और उनमें से ठीक k तत्व वाले कितने सबसेट होते हैं। समुच्चय सिद्धांत, प्रायिकता (probability) और विविक्त गणित (discrete mathematics) पढ़ने वाले विद्यार्थियों के साथ-साथ संभावित संयोजन गिनने वाले हर व्यक्ति के लिए यह बेहद काम का है।

3 अवयवों वाले समुच्चय में \(2^3 = 8\) उपसमुच्चय होते हैं, जिनमें रिक्त समुच्चय और पूर्ण समुच्चय भी शामिल हैं।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

अपने समुच्चय का आकार n के रूप में दर्ज करें (यानी अलग-अलग तत्वों की संख्या)। कैलकुलेटर तुरंत कुल सबसेट की संख्या बता देगा, जो \(2^n\) के बराबर होती है, और साथ ही नॉन-एम्प्टी (खाली नहीं) सबसेट की संख्या \(2^n - 1\) भी। अगर आप चाहें तो सबसेट का आकार k भी दर्ज कर सकते हैं, जिससे ठीक k तत्व वाले सबसेट की संख्या मिल जाएगी — यह द्विपद गुणांक (binomial coefficient) \(C(n, k)\) से निकाली जाती है। अगर आपको सिर्फ़ कुल संख्या चाहिए तो k को खाली छोड़ दें।

सूत्र की पूरी समझ

समुच्चय का हर तत्व अपने आप में किसी सबसेट में या तो शामिल हो सकता है या नहीं — यानी हर तत्व के लिए 2 विकल्प। n स्वतंत्र तत्वों के साथ कुल गिनती होती है

$$2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$$

किसी निश्चित आकार k के सबसेट गिनने के लिए हम संयोजन सूत्र

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$

का उपयोग करते हैं, जो क्रम की परवाह किए बिना k तत्व चुनता है। अगर 0 से n तक हर k के लिए \(C(n, k)\) को जोड़ दें, तो वापस \(2^n\) ही मिलता है।

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उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) के रूप में बढ़ती है, जबकि \(C(n,k)\) एक निश्चित आकार k के उपसमुच्चय गिनता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए n = 5 है। कुल सबसेट की संख्या होगी \(2^5 = 32\), और नॉन-एम्प्टी सबसेट होंगे 31। 2 तत्व वाले सबसेट की संख्या होगी

$$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$

यानी 5 तत्वों वाले समुच्चय से ठीक 10 संभावित जोड़े बनाए जा सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या कुल संख्या में खाली समुच्चय भी शामिल है? हाँ। \(2^n\) की गिनती में खाली समुच्चय और पूरा समुच्चय — दोनों शामिल हैं। नॉन-एम्प्टी सबसेट के लिए 1 घटा दें, और प्रॉपर नॉन-एम्प्टी सबसेट के लिए 2 घटा दें।

अगर k, n से बड़ा हो तो? ऐसा कोई सबसेट होता ही नहीं, इसलिए जब भी k > n या k < 0 हो, तब \(C(n, k) = 0\) होता है।

अधिकतम सीमा लगभग 170 ही क्यों है? \(2^n\) और फैक्टोरियल बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं; लगभग n = 170 के बाद मान इतने बड़े हो जाते हैं कि सामान्य फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की सीमा से बाहर निकल जाते हैं।