Alt Küme Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

Küme boyutu (n)

Alt küme boyutu (k) — isteğe bağlı

Sonuç

Toplam alt küme sayısı

32

= 2^5 (includes the empty set and the full set)

Öz / boş olmayan alt kümeler (2ⁿ − 1)	31
Subsets of size k = 2 — C(n,k)	10

Alt Küme Hesaplama Aracı nedir?

Alt küme, daha büyük bir kümeden seçilen herhangi bir eleman topluluğudur; boş küme ile kümenin kendisi de buna dahildir. Bu araç, kombinatoriğin en sık karşılaşılan iki sorusunu yanıtlar: n elemanlı bir kümenin toplam kaç alt kümesi vardır ve bu alt kümelerin kaç tanesi tam olarak k eleman içerir. Küme teorisi, olasılık ve ayrık matematik öğrenen öğrenciler için olduğu kadar, olası kombinasyonları saymak isteyen herkes için de pratik bir çözümdür.

3 elemanlı bir kümenin, boş küme ve kümenin kendisi dahil \(2^3 = 8\) alt kümesi vardır.

Nasıl kullanılır?

Kümenizin eleman sayısını n olarak girin (yani birbirinden farklı eleman adedi). Araç anında toplam alt küme sayısını (\(2^n\)) ve boş kümeyi hariç tutan öz/boş olmayan alt küme sayısını (\(2^n - 1\)) gösterir. İsterseniz bir alt küme boyutu k girerek tam olarak k eleman içeren alt küme sayısını da görebilirsiniz; bu değer binom katsayısı \(C(n, k)\) ile hesaplanır. Yalnızca toplam sayıya ihtiyacınız varsa k alanını boş bırakmanız yeterlidir.

Formülün açıklaması

Kümenin her elemanı, bir alt kümeye ya dahil edilebilir ya da dışarıda bırakılabilir — yani her eleman için 2 seçenek vardır. Birbirinden bağımsız n eleman olduğunda toplam sayı $$2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^n$$ olur. Sabit boyutta, yani k elemanlı alt kümeleri saymak için ise sıralamayı dikkate almadan k eleman seçen kombinasyon formülünü kullanırız: $$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$ \(C(n, k)\) değerlerini \(k = 0\)'dan \(k = n\)'e kadar topladığınızda yeniden \(2^n\) sonucuna ulaşırsınız.

Reklam

Toplam alt küme sayısı \(2^n\) olarak artar, \(C(n,k)\) ise sabit k boyutundaki alt kümeleri sayar.

Örnek çözüm

Diyelim ki \(n = 5\). Toplam alt küme sayısı \(2^5 = 32\), boş olmayan alt küme sayısı ise 31'dir. 2 elemanlı alt kümelerin sayısı $$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$ olarak bulunur. Yani 5 elemanlı bir kümeden tam olarak 10 farklı ikili (çift) oluşturulabilir.

Sıkça Sorulan Sorular

Toplam sayıya boş küme dahil mi? Evet. \(2^n\) değeri hem boş kümeyi hem de kümenin tamamını içerir. Boş olmayan alt kümeler için 1, öz ve boş olmayan alt kümeler için ise 2 çıkarın.

k, n'den büyükse ne olur? Bu durumda böyle bir alt küme oluşturulamaz; dolayısıyla \(k > n\) veya \(k < 0\) olduğunda \(C(n, k) = 0\) olur.

Üst sınır neden 170 civarında? \(2^n\) ve faktöriyel değerleri inanılmaz hızlı büyür; yaklaşık \(n = 170\)'in ötesinde sonuçlar, standart kayan noktalı (floating-point) sayıların temsil edebileceği aralığı aşar.