Calculateur de sous-ensembles

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Taille de l'ensemble (n)

Taille du sous-ensemble (k) — facultatif

Résultats

Nombre total de sous-ensembles

32

= 2^5 (includes the empty set and the full set)

Sous-ensembles propres / non vides (2ⁿ − 1)	31
Subsets of size k = 2 — C(n,k)	10

Qu'est-ce que le calculateur de sous-ensembles ?

Un sous-ensemble est une sélection quelconque d'éléments tirés d'un ensemble plus vaste, y compris l'ensemble vide et l'ensemble lui-même. Ce calculateur répond à deux questions classiques de combinatoire : combien un ensemble de n éléments possède-t-il de sous-ensembles au total, et combien d'entre eux contiennent exactement k éléments. Il s'avère précieux pour les étudiants qui découvrent la théorie des ensembles, les probabilités et les mathématiques discrètes, comme pour quiconque souhaite dénombrer des combinaisons possibles.

Un ensemble à 3 éléments a \(2^3 = 8\) sous-ensembles, y compris l'ensemble vide et l'ensemble entier.

Comment l'utiliser

Saisissez la taille de votre ensemble dans le champ n (le nombre d'éléments distincts). Le calculateur affiche aussitôt le nombre total de sous-ensembles, égal à \(2^n\), ainsi que le nombre de sous-ensembles propres et non vides, soit \(2^n - 1\). Vous pouvez aussi indiquer une taille de sous-ensemble k pour obtenir le nombre de sous-ensembles comptant exactement k éléments, calculé à l'aide du coefficient binomial \(C(n, k)\). Laissez le champ k vide si seul le total vous intéresse.

La formule expliquée

Chaque élément de l'ensemble peut être inclus ou exclu d'un sous-ensemble de manière indépendante — soit 2 possibilités par élément. Avec n éléments indépendants, le total vaut donc

$$2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$$

Pour dénombrer les sous-ensembles d'une taille fixe k, on emploie la formule des combinaisons

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$

qui sélectionne k éléments sans tenir compte de l'ordre. La somme des \(C(n, k)\) pour tous les k de 0 à n redonne bien \(2^n\).

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Le nombre total de sous-ensembles croît en \(2^n\), tandis que \(C(n,k)\) compte les sous-ensembles d'une taille fixe k.

Exemple concret

Prenons n = 5. Le nombre total de sous-ensembles est \(2^5 = 32\), et le nombre de sous-ensembles non vides est 31. Le nombre de sous-ensembles à 2 éléments vaut

$$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$

Autrement dit, un ensemble de 5 éléments permet de former exactement 10 paires possibles.

FAQ

Le total inclut-il l'ensemble vide ? Oui. Le décompte \(2^n\) comprend à la fois l'ensemble vide et l'ensemble complet. Soustrayez 1 pour les sous-ensembles non vides, ou 2 pour les sous-ensembles propres non vides.

Et si k est supérieur à n ? Aucun sous-ensemble de ce type n'existe : on a donc \(C(n, k) = 0\) dès que \(k > n\) ou \(k < 0\).

Pourquoi le maximum se situe-t-il autour de 170 ? Les valeurs de \(2^n\) et des factorielles croissent à une vitesse vertigineuse ; au-delà d'environ n = 170, elles dépassent la plage que les nombres à virgule flottante standard peuvent représenter.