¿Qué es la calculadora de subconjuntos?
Un subconjunto es cualquier selección de elementos tomados de un conjunto mayor, incluidos el conjunto vacío y el propio conjunto completo. Esta herramienta resuelve dos de las preguntas más habituales de la combinatoria: cuántos subconjuntos tiene en total un conjunto de n elementos y cuántos de esos subconjuntos contienen exactamente k elementos. Resulta muy práctica para estudiantes que se inician en la teoría de conjuntos, la probabilidad y la matemática discreta, y también para cualquiera que necesite contar combinaciones posibles.
Cómo usarla
Introduce el tamaño de tu conjunto como n (el número de elementos distintos). La calculadora te devuelve al instante el número total de subconjuntos, igual a \(2^n\), y el número de subconjuntos propios o no vacíos, \(2^n - 1\). Si quieres, escribe también un tamaño de subconjunto k para obtener cuántos subconjuntos contienen exactamente k elementos, calculado mediante el coeficiente binomial \(C(n, k)\). Deja k en blanco si solo necesitas el total.
La fórmula explicada
Cada elemento del conjunto puede incluirse o excluirse de un subconjunto de forma independiente: son 2 opciones por elemento. Con n elementos independientes, el recuento total es
$$\text{Total de subconjuntos} = 2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$$Para contar los subconjuntos de un tamaño fijo k, usamos la fórmula de combinaciones
$$C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$$que elige k elementos sin importar el orden. Si sumas \(C(n, k)\) para todos los valores de k desde 0 hasta n, vuelves a obtener \(2^n\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que n = 5. El número total de subconjuntos es \(2^5 = 32\), y el número de subconjuntos no vacíos es 31. El número de subconjuntos de 2 elementos es
$$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10$$Es decir, a partir de un conjunto de 5 elementos hay exactamente 10 parejas posibles.
Preguntas frecuentes
¿El total incluye el conjunto vacío? Sí. El recuento \(2^n\) incluye tanto el conjunto vacío como el conjunto completo. Resta 1 para obtener los subconjuntos no vacíos, o 2 para los subconjuntos propios no vacíos.
¿Qué pasa si k es mayor que n? No existen subconjuntos así, por lo que \(C(n, k) = 0\) siempre que \(k > n\) o \(k < 0\).
¿Por qué el máximo ronda los 170? Tanto \(2^n\) como los factoriales crecen a una velocidad enorme; a partir de aproximadamente n = 170 los valores superan el rango que pueden representar los números de coma flotante estándar.
