¿Qué son los esfuerzos principales?
Cuando un elemento de material se somete a cargas en dos dimensiones, las tensiones que actúan sobre él dependen de la orientación del plano de corte. Los esfuerzos principales son las tensiones normales máxima (\(\sigma_1\)) y mínima (\(\sigma_2\)) que aparecen en planos concretos donde el esfuerzo cortante se anula. Los ingenieros emplean estos valores para predecir la fluencia y el fallo de componentes estructurales y de máquinas sometidos a cargas combinadas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las tres componentes del estado de tensión plana: la tensión normal en la dirección x (\(\sigma_x\)), la tensión normal en la dirección y (\(\sigma_y\)) y el esfuerzo cortante (\(\tau_{xy}\)). Puedes usar cualquier unidad coherente (MPa, ksi, psi). La calculadora devuelve \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), el esfuerzo cortante máximo en el plano \(\tau_{max}\) y el ángulo principal \(\theta_p\) que orienta los planos principales.
La fórmula explicada
Los esfuerzos principales se obtienen al girar el tensor de tensiones hasta la orientación donde el cortante es nulo:
$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$El primer término es la tensión normal media (el centro del círculo de Mohr) y el término de la raíz cuadrada es el radio del círculo de Mohr, que coincide con el esfuerzo cortante máximo \(\tau_{max}\). El ángulo principal es \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(2\tau_{xy},\, \sigma_x - \sigma_y)\).
Ejemplo resuelto
Para \(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 10\), \(\tau_{xy} = 20\): media = 30, radio = \(\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28{,}28\). Por tanto \(\sigma_1 \approx 58{,}28\), \(\sigma_2 \approx 1{,}72\), \(\tau_{max} \approx 28{,}28\) y \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(40, 40) = 22{,}5°\).
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las unidades? El resultado se expresa en la misma unidad de tensión que introduzcas: la fórmula es independiente de las unidades siempre que \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) y \(\tau_{xy}\) compartan la misma.
¿Qué significa un \(\sigma_2\) negativo? Un esfuerzo principal negativo indica compresión en ese plano, mientras que los valores positivos indican tracción.
¿Es tensión plana o deformación plana? Estas ecuaciones describen el estado de tensión plana (2D) en el plano; se supone que el tercer esfuerzo principal, fuera del plano, es nulo.
